Home | Metamath
Proof Explorer Theorem List (p. 268 of 450) | < Previous Next > |
Bad symbols? Try the
GIF version. |
||
Mirrors > Metamath Home Page > MPE Home Page > Theorem List Contents > Recent Proofs This page: Page List |
Color key: | Metamath Proof Explorer
(1-28698) |
Hilbert Space Explorer
(28699-30221) |
Users' Mathboxes
(30222-44913) |
Type | Label | Description | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Statement | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | eleesubd 26701* | Membership of a subtraction mapping in a Euclidean space. Deduction form of eleesub 26700. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jul-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝑖 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)))) ⇒ ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axdimuniq 26702 | The unique dimension axiom. If a point is in 𝑁 dimensional space and in 𝑀 dimensional space, then 𝑁 = 𝑀. This axiom is not traditionally presented with Tarski's axioms, but we require it here as we are considering spaces in arbitrary dimensions. (Contributed by Scott Fenton, 24-Sep-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑀))) → 𝑁 = 𝑀) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axcgrrflx 26703 | 𝐴 is as far from 𝐵 as 𝐵 is from 𝐴. Axiom A1 of [Schwabhauser] p. 10. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 〈𝐴, 𝐵〉Cgr〈𝐵, 𝐴〉) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axcgrtr 26704 | Congruence is transitive. Axiom A2 of [Schwabhauser] p. 10. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((〈𝐴, 𝐵〉Cgr〈𝐶, 𝐷〉 ∧ 〈𝐴, 𝐵〉Cgr〈𝐸, 𝐹〉) → 〈𝐶, 𝐷〉Cgr〈𝐸, 𝐹〉)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axcgrid 26705 | If there is no distance between 𝐴 and 𝐵, then 𝐴 = 𝐵. Axiom A3 of [Schwabhauser] p. 10. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (〈𝐴, 𝐵〉Cgr〈𝐶, 𝐶〉 → 𝐴 = 𝐵)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axsegconlem1 26706* | Lemma for axsegcon 26716. Handle the degenerate case. (Contributed by Scott Fenton, 7-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝐴 = 𝐵 ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑥‘𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝑥‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axsegconlem2 26707* | Lemma for axsegcon 26716. Show that the square of the distance between two points is a real number. (Contributed by Scott Fenton, 17-Sep-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑆 = Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2) ⇒ ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑆 ∈ ℝ) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axsegconlem3 26708* | Lemma for axsegcon 26716. Show that the square of the distance between two points is nonnegative. (Contributed by Scott Fenton, 17-Sep-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑆 = Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2) ⇒ ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 0 ≤ 𝑆) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axsegconlem4 26709* | Lemma for axsegcon 26716. Show that the distance between two points is a real number. (Contributed by Scott Fenton, 17-Sep-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑆 = Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2) ⇒ ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (√‘𝑆) ∈ ℝ) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axsegconlem5 26710* | Lemma for axsegcon 26716. Show that the distance between two points is nonnegative. (Contributed by Scott Fenton, 17-Sep-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑆 = Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2) ⇒ ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 0 ≤ (√‘𝑆)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axsegconlem6 26711* | Lemma for axsegcon 26716. Show that the distance between two distinct points is positive. (Contributed by Scott Fenton, 17-Sep-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑆 = Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2) ⇒ ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 0 < (√‘𝑆)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axsegconlem7 26712* | Lemma for axsegcon 26716. Show that a particular ratio of distances is in the closed unit interval. (Contributed by Scott Fenton, 18-Sep-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑆 = Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2) & ⊢ 𝑇 = Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2) ⇒ ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((√‘𝑆) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))) ∈ (0[,]1)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axsegconlem8 26713* | Lemma for axsegcon 26716. Show that a particular mapping generates a point. (Contributed by Scott Fenton, 18-Sep-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑆 = Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2) & ⊢ 𝑇 = Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2) & ⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘𝑆))) ⇒ ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axsegconlem9 26714* | Lemma for axsegcon 26716. Show that 𝐵𝐹 is congruent to 𝐶𝐷. (Contributed by Scott Fenton, 19-Sep-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑆 = Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2) & ⊢ 𝑇 = Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2) & ⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘𝑆))) ⇒ ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐹‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axsegconlem10 26715* | Lemma for axsegcon 26716. Show that the scaling constant from axsegconlem7 26712 produces the betweenness condition for 𝐴, 𝐵 and 𝐹. (Contributed by Scott Fenton, 21-Sep-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑆 = Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2) & ⊢ 𝑇 = Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2) & ⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘𝑆))) ⇒ ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − ((√‘𝑆) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇)))) · (𝐴‘𝑖)) + (((√‘𝑆) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))) · (𝐹‘𝑖)))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axsegcon 26716* | Any segment 𝐴𝐵 can be extended to a point 𝑥 such that 𝐵𝑥 is congruent to 𝐶𝐷. Axiom A4 of [Schwabhauser] p. 11. (Contributed by Scott Fenton, 4-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn 〈𝐴, 𝑥〉 ∧ 〈𝐵, 𝑥〉Cgr〈𝐶, 𝐷〉)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | ax5seglem1 26717* | Lemma for ax5seg 26727. Rexpress a one congruence sum given betweenness. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐵‘𝑗))↑2) = ((𝑇↑2) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | ax5seglem2 26718* | Lemma for ax5seg 26727. Rexpress another congruence sum given betweenness. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2) = (((1 − 𝑇)↑2) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | ax5seglem3a 26719 | Lemma for ax5seg 26727. (Contributed by Scott Fenton, 7-May-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗)) ∈ ℝ ∧ ((𝐷‘𝑗) − (𝐹‘𝑗)) ∈ ℝ)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | ax5seglem3 26720* | Lemma for ax5seg 26727. Combine congruences for points on a line. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷‘𝑖)) + (𝑆 · (𝐹‘𝑖))))) ∧ (〈𝐴, 𝐵〉Cgr〈𝐷, 𝐸〉 ∧ 〈𝐵, 𝐶〉Cgr〈𝐸, 𝐹〉)) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷‘𝑗) − (𝐹‘𝑗))↑2)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | ax5seglem4 26721* | Lemma for ax5seg 26727. Given two distinct points, the scaling constant in a betweenness statement is nonzero. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝑇 ≠ 0) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | ax5seglem5 26722* | Lemma for ax5seg 26727. If 𝐵 is between 𝐴 and 𝐶, and 𝐴 is distinct from 𝐵, then 𝐴 is distinct from 𝐶. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2) ≠ 0) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | ax5seglem6 26723* | Lemma for ax5seg 26727. Given two line segments that are divided into pieces, if the pieces are congruent, then the scaling constant is the same. (Contributed by Scott Fenton, 12-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷‘𝑖)) + (𝑆 · (𝐹‘𝑖))))) ∧ (〈𝐴, 𝐵〉Cgr〈𝐷, 𝐸〉 ∧ 〈𝐵, 𝐶〉Cgr〈𝐸, 𝐹〉)) → 𝑇 = 𝑆) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | ax5seglem7 26724 | Lemma for ax5seg 26727. An algebraic calculation needed further down the line. (Contributed by Scott Fenton, 12-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 ∈ ℂ & ⊢ 𝑇 ∈ ℂ & ⊢ 𝐶 ∈ ℂ & ⊢ 𝐷 ∈ ℂ ⇒ ⊢ (𝑇 · ((𝐶 − 𝐷)↑2)) = ((((((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷)↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴 − 𝐶)↑2)) − ((𝐴 − 𝐷)↑2)))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | ax5seglem8 26725 | Lemma for ax5seg 26727. Use the weak deduction theorem to eliminate the hypotheses from ax5seglem7 26724. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝑇 · ((𝐶 − 𝐷)↑2)) = ((((((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷)↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴 − 𝐶)↑2)) − ((𝐴 − 𝐷)↑2))))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | ax5seglem9 26726* | Lemma for ax5seg 26727. Take the calculation in ax5seglem8 26725 and turn it into a series of measurements. (Contributed by Scott Fenton, 12-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 22-May-2014.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → (𝑇 · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2)) = (Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)) − Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2))))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | ax5seg 26727 | The five segment axiom. Take two triangles 𝐴𝐷𝐶 and 𝐸𝐻𝐺, a point 𝐵 on 𝐴𝐶, and a point 𝐹 on 𝐸𝐺. If all corresponding line segments except for 𝐶𝐷 and 𝐺𝐻 are congruent, then so are 𝐶𝐷 and 𝐺𝐻. Axiom A5 of [Schwabhauser] p. 11. (Contributed by Scott Fenton, 12-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 Btwn 〈𝐴, 𝐶〉 ∧ 𝐹 Btwn 〈𝐸, 𝐺〉) ∧ (〈𝐴, 𝐵〉Cgr〈𝐸, 𝐹〉 ∧ 〈𝐵, 𝐶〉Cgr〈𝐹, 𝐺〉) ∧ (〈𝐴, 𝐷〉Cgr〈𝐸, 𝐻〉 ∧ 〈𝐵, 𝐷〉Cgr〈𝐹, 𝐻〉)) → 〈𝐶, 𝐷〉Cgr〈𝐺, 𝐻〉)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axbtwnid 26728 | Points are indivisible. That is, if 𝐴 lies between 𝐵 and 𝐵, then 𝐴 = 𝐵. Axiom A6 of [Schwabhauser] p. 11. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 Btwn 〈𝐵, 𝐵〉 → 𝐴 = 𝐵)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axpaschlem 26729* | Lemma for axpasch 26730. Set up coefficents used in the proof. (Contributed by Scott Fenton, 5-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) → ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑝 ∈ (0[,]1)(𝑝 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑇)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑝) · (1 − 𝑆)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑇) = ((1 − 𝑝) · 𝑆))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axpasch 26730* | The inner Pasch axiom. Take a triangle 𝐴𝐶𝐸, a point 𝐷 on 𝐴𝐶, and a point 𝐵 extending 𝐶𝐸. Then 𝐴𝐸 and 𝐷𝐵 intersect at some point 𝑥. Axiom A7 of [Schwabhauser] p. 12. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐷 Btwn 〈𝐴, 𝐶〉 ∧ 𝐸 Btwn 〈𝐵, 𝐶〉) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑥 Btwn 〈𝐷, 𝐵〉 ∧ 𝑥 Btwn 〈𝐸, 𝐴〉))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axlowdimlem1 26731 | Lemma for axlowdim 26750. Establish a particular constant function as a function. (Contributed by Scott Fenton, 29-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((3...𝑁) × {0}):(3...𝑁)⟶ℝ | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axlowdimlem2 26732 | Lemma for axlowdim 26750. Show that two sets are disjoint. (Contributed by Scott Fenton, 29-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((1...2) ∩ (3...𝑁)) = ∅ | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axlowdimlem3 26733 | Lemma for axlowdim 26750. Set up a union property for an interval of integers. (Contributed by Scott Fenton, 29-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1...𝑁) = ((1...2) ∪ (3...𝑁))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axlowdimlem4 26734 | Lemma for axlowdim 26750. Set up a particular constant function. (Contributed by Scott Fenton, 17-Apr-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 ∈ ℝ & ⊢ 𝐵 ∈ ℝ ⇒ ⊢ {〈1, 𝐴〉, 〈2, 𝐵〉}:(1...2)⟶ℝ | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axlowdimlem5 26735 | Lemma for axlowdim 26750. Show that a particular union is a point in Euclidean space. (Contributed by Scott Fenton, 29-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 ∈ ℝ & ⊢ 𝐵 ∈ ℝ ⇒ ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ({〈1, 𝐴〉, 〈2, 𝐵〉} ∪ ((3...𝑁) × {0})) ∈ (𝔼‘𝑁)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axlowdimlem6 26736 | Lemma for axlowdim 26750. Show that three points are non-colinear. (Contributed by Scott Fenton, 29-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 = ({〈1, 0〉, 〈2, 0〉} ∪ ((3...𝑁) × {0})) & ⊢ 𝐵 = ({〈1, 1〉, 〈2, 0〉} ∪ ((3...𝑁) × {0})) & ⊢ 𝐶 = ({〈1, 0〉, 〈2, 1〉} ∪ ((3...𝑁) × {0})) ⇒ ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ¬ (𝐴 Btwn 〈𝐵, 𝐶〉 ∨ 𝐵 Btwn 〈𝐶, 𝐴〉 ∨ 𝐶 Btwn 〈𝐴, 𝐵〉)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axlowdimlem7 26737 | Lemma for axlowdim 26750. Set up a point in Euclidean space. (Contributed by Scott Fenton, 29-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑃 = ({〈3, -1〉} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})) ⇒ ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axlowdimlem8 26738 | Lemma for axlowdim 26750. Calculate the value of 𝑃 at three. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑃 = ({〈3, -1〉} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})) ⇒ ⊢ (𝑃‘3) = -1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axlowdimlem9 26739 | Lemma for axlowdim 26750. Calculate the value of 𝑃 away from three. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑃 = ({〈3, -1〉} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})) ⇒ ⊢ ((𝐾 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 3) → (𝑃‘𝐾) = 0) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axlowdimlem10 26740 | Lemma for axlowdim 26750. Set up a family of points in Euclidean space. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑄 = ({〈(𝐼 + 1), 1〉} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})) ⇒ ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axlowdimlem11 26741 | Lemma for axlowdim 26750. Calculate the value of 𝑄 at its distinguished point. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑄 = ({〈(𝐼 + 1), 1〉} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})) ⇒ ⊢ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axlowdimlem12 26742 | Lemma for axlowdim 26750. Calculate the value of 𝑄 away from its distinguished point. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑄 = ({〈(𝐼 + 1), 1〉} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})) ⇒ ⊢ ((𝐾 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝐾 ≠ (𝐼 + 1)) → (𝑄‘𝐾) = 0) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axlowdimlem13 26743 | Lemma for axlowdim 26750. Establish that 𝑃 and 𝑄 are different points. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑃 = ({〈3, -1〉} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})) & ⊢ 𝑄 = ({〈(𝐼 + 1), 1〉} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})) ⇒ ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑃 ≠ 𝑄) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axlowdimlem14 26744 | Lemma for axlowdim 26750. Take two possible 𝑄 from axlowdimlem10 26740. They are the same iff their distinguished values are the same. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑄 = ({〈(𝐼 + 1), 1〉} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})) & ⊢ 𝑅 = ({〈(𝐽 + 1), 1〉} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐽 + 1)}) × {0})) ⇒ ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑄 = 𝑅 → 𝐼 = 𝐽)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axlowdimlem15 26745* | Lemma for axlowdim 26750. Set up a one-to-one function of points. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐹 = (𝑖 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ↦ if(𝑖 = 1, ({〈3, -1〉} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})), ({〈(𝑖 + 1), 1〉} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝑖 + 1)}) × {0})))) ⇒ ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐹:(1...(𝑁 − 1))–1-1→(𝔼‘𝑁)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axlowdimlem16 26746* | Lemma for axlowdim 26750. Set up a summation that will help establish distance. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑃 = ({〈3, -1〉} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})) & ⊢ 𝑄 = ({〈(𝐼 + 1), 1〉} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})) ⇒ ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → Σ𝑖 ∈ (3...𝑁)((𝑃‘𝑖)↑2) = Σ𝑖 ∈ (3...𝑁)((𝑄‘𝑖)↑2)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axlowdimlem17 26747 | Lemma for axlowdim 26750. Establish a congruence result. (Contributed by Scott Fenton, 22-Apr-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-May-2014.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑃 = ({〈3, -1〉} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})) & ⊢ 𝑄 = ({〈(𝐼 + 1), 1〉} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})) & ⊢ 𝐴 = ({〈1, 𝑋〉, 〈2, 𝑌〉} ∪ ((3...𝑁) × {0})) & ⊢ 𝑋 ∈ ℝ & ⊢ 𝑌 ∈ ℝ ⇒ ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → 〈𝑃, 𝐴〉Cgr〈𝑄, 𝐴〉) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axlowdim1 26748* | The lower dimension axiom for one dimension. In any dimension, there are at least two distinct points. Theorem 3.13 of [Schwabhauser] p. 32, where it is derived from axlowdim2 26749. (Contributed by Scott Fenton, 22-Apr-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)𝑥 ≠ 𝑦) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axlowdim2 26749* | The lower two-dimensional axiom. In any space where the dimension is greater than one, there are three non-colinear points. Axiom A8 of [Schwabhauser] p. 12. (Contributed by Scott Fenton, 15-Apr-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ¬ (𝑥 Btwn 〈𝑦, 𝑧〉 ∨ 𝑦 Btwn 〈𝑧, 𝑥〉 ∨ 𝑧 Btwn 〈𝑥, 𝑦〉)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axlowdim 26750* | The general lower dimension axiom. Take a dimension 𝑁 greater than or equal to three. Then, there are three non-colinear points in 𝑁 dimensional space that are equidistant from 𝑁 − 1 distinct points. Derived from remarks in Tarski's System of Geometry, Alfred Tarski and Steven Givant, Bulletin of Symbolic Logic, Volume 5, Number 2 (1999), 175-214. (Contributed by Scott Fenton, 22-Apr-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ∃𝑝∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑝:(1...(𝑁 − 1))–1-1→(𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (2...(𝑁 − 1))(〈(𝑝‘1), 𝑥〉Cgr〈(𝑝‘𝑖), 𝑥〉 ∧ 〈(𝑝‘1), 𝑦〉Cgr〈(𝑝‘𝑖), 𝑦〉 ∧ 〈(𝑝‘1), 𝑧〉Cgr〈(𝑝‘𝑖), 𝑧〉) ∧ ¬ (𝑥 Btwn 〈𝑦, 𝑧〉 ∨ 𝑦 Btwn 〈𝑧, 𝑥〉 ∨ 𝑧 Btwn 〈𝑥, 𝑦〉))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axeuclidlem 26751* | Lemma for axeuclid 26752. Handle the algebraic aspects of the theorem. (Contributed by Scott Fenton, 9-Sep-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑃) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑃 · (𝑇‘𝑖))) = (((1 − 𝑄) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑄 · (𝐶‘𝑖)))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑟 · (𝑥‘𝑖))) ∧ (𝐶‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑦‘𝑖))) ∧ (𝑇‘𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑢 · (𝑦‘𝑖))))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axeuclid 26752* | Euclid's axiom. Take an angle 𝐵𝐴𝐶 and a point 𝐷 between 𝐵 and 𝐶. Now, if you extend the segment 𝐴𝐷 to a point 𝑇, then 𝑇 lies between two points 𝑥 and 𝑦 that lie on the angle. Axiom A10 of [Schwabhauser] p. 13. (Contributed by Scott Fenton, 9-Sep-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐷 Btwn 〈𝐴, 𝑇〉 ∧ 𝐷 Btwn 〈𝐵, 𝐶〉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn 〈𝐴, 𝑥〉 ∧ 𝐶 Btwn 〈𝐴, 𝑦〉 ∧ 𝑇 Btwn 〈𝑥, 𝑦〉))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axcontlem1 26753* | Lemma for axcont 26765. Change bound variables for later use. (Contributed by Scott Fenton, 20-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐹 = {〈𝑥, 𝑡〉 ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖)))))} ⇒ ⊢ 𝐹 = {〈𝑦, 𝑠〉 ∣ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (𝑠 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(𝑦‘𝑗) = (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑗)) + (𝑠 · (𝑈‘𝑗)))))} | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axcontlem2 26754* | Lemma for axcont 26765. The idea here is to set up a mapping 𝐹 that will allow us to transfer dedekind 10806 to two sets of points. Here, we set up 𝐹 and show its domain and range. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐷 = {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn 〈𝑍, 𝑝〉 ∨ 𝑝 Btwn 〈𝑍, 𝑈〉)} & ⊢ 𝐹 = {〈𝑥, 𝑡〉 ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖)))))} ⇒ ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) → 𝐹:𝐷–1-1-onto→(0[,)+∞)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axcontlem3 26755* | Lemma for axcont 26765. Given the separation assumption, 𝐵 is a subset of 𝐷. (Contributed by Scott Fenton, 18-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐷 = {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn 〈𝑍, 𝑝〉 ∨ 𝑝 Btwn 〈𝑍, 𝑈〉)} ⇒ ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn 〈𝑍, 𝑦〉)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) → 𝐵 ⊆ 𝐷) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axcontlem4 26756* | Lemma for axcont 26765. Given the separation assumption, 𝐴 is a subset of 𝐷. (Contributed by Scott Fenton, 18-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐷 = {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn 〈𝑍, 𝑝〉 ∨ 𝑝 Btwn 〈𝑍, 𝑈〉)} ⇒ ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn 〈𝑍, 𝑦〉)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) → 𝐴 ⊆ 𝐷) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axcontlem5 26757* | Lemma for axcont 26765. Compute the value of 𝐹. (Contributed by Scott Fenton, 18-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐷 = {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn 〈𝑍, 𝑝〉 ∨ 𝑝 Btwn 〈𝑍, 𝑈〉)} & ⊢ 𝐹 = {〈𝑥, 𝑡〉 ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖)))))} ⇒ ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ 𝑃 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝑃) = 𝑇 ↔ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑇 · (𝑈‘𝑖)))))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axcontlem6 26758* | Lemma for axcont 26765. State the defining properties of the value of 𝐹. (Contributed by Scott Fenton, 19-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐷 = {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn 〈𝑍, 𝑝〉 ∨ 𝑝 Btwn 〈𝑍, 𝑈〉)} & ⊢ 𝐹 = {〈𝑥, 𝑡〉 ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖)))))} ⇒ ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ 𝑃 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axcontlem7 26759* | Lemma for axcont 26765. Given two points in 𝐷, one preceeds the other iff its scaling constant is less than the other point's. (Contributed by Scott Fenton, 18-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐷 = {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn 〈𝑍, 𝑝〉 ∨ 𝑝 Btwn 〈𝑍, 𝑈〉)} & ⊢ 𝐹 = {〈𝑥, 𝑡〉 ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖)))))} ⇒ ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑄 ∈ 𝐷)) → (𝑃 Btwn 〈𝑍, 𝑄〉 ↔ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axcontlem8 26760* | Lemma for axcont 26765. A point in 𝐷 is between two others if its function value falls in the middle. (Contributed by Scott Fenton, 18-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐷 = {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn 〈𝑍, 𝑝〉 ∨ 𝑝 Btwn 〈𝑍, 𝑈〉)} & ⊢ 𝐹 = {〈𝑥, 𝑡〉 ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖)))))} ⇒ ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑄 ∈ 𝐷 ∧ 𝑅 ∈ 𝐷)) → (((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)) → 𝑄 Btwn 〈𝑃, 𝑅〉)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axcontlem9 26761* | Lemma for axcont 26765. Given the separation assumption, all values of 𝐹 over 𝐴 are less than or equal to all values of 𝐹 over 𝐵. (Contributed by Scott Fenton, 20-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐷 = {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn 〈𝑍, 𝑝〉 ∨ 𝑝 Btwn 〈𝑍, 𝑈〉)} & ⊢ 𝐹 = {〈𝑥, 𝑡〉 ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖)))))} ⇒ ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn 〈𝑍, 𝑦〉)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) → ∀𝑛 ∈ (𝐹 “ 𝐴)∀𝑚 ∈ (𝐹 “ 𝐵)𝑛 ≤ 𝑚) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axcontlem10 26762* | Lemma for axcont 26765. Given a handful of assumptions, derive the conclusion of the final theorem. (Contributed by Scott Fenton, 20-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐷 = {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn 〈𝑍, 𝑝〉 ∨ 𝑝 Btwn 〈𝑍, 𝑈〉)} & ⊢ 𝐹 = {〈𝑥, 𝑡〉 ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖)))))} ⇒ ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn 〈𝑍, 𝑦〉)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn 〈𝑥, 𝑦〉) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axcontlem11 26763* | Lemma for axcont 26765. Eliminate the hypotheses from axcontlem10 26762. (Contributed by Scott Fenton, 20-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn 〈𝑍, 𝑦〉)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn 〈𝑥, 𝑦〉) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axcontlem12 26764* | Lemma for axcont 26765. Eliminate the trivial cases from the previous lemmas. (Contributed by Scott Fenton, 20-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn 〈𝑍, 𝑦〉)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn 〈𝑥, 𝑦〉) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axcont 26765* | The axiom of continuity. Take two sets of points 𝐴 and 𝐵. If all the points in 𝐴 come before the points of 𝐵 on a line, then there is a point separating the two. Axiom A11 of [Schwabhauser] p. 13. (Contributed by Scott Fenton, 20-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∃𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn 〈𝑎, 𝑦〉)) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn 〈𝑥, 𝑦〉) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Syntax | ceeng 26766 | Extends class notation with the Tarski geometry structure for 𝔼↑𝑁. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
class EEG | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Definition | df-eeng 26767* | Define the geometry structure for 𝔼↑𝑁. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Aug-2017.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ EEG = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ({〈(Base‘ndx), (𝔼‘𝑛)〉, 〈(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑛), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑛) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑛)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))〉} ∪ {〈(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑛), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑛) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑛) ∣ 𝑧 Btwn 〈𝑥, 𝑦〉})〉, 〈(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑛), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑛) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑛) ∣ (𝑧 Btwn 〈𝑥, 𝑦〉 ∨ 𝑥 Btwn 〈𝑧, 𝑦〉 ∨ 𝑦 Btwn 〈𝑥, 𝑧〉)})〉})) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | eengv 26768* | The value of the Euclidean geometry for dimension 𝑁. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (EEG‘𝑁) = ({〈(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)〉, 〈(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))〉} ∪ {〈(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn 〈𝑥, 𝑦〉})〉, 〈(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn 〈𝑥, 𝑦〉 ∨ 𝑥 Btwn 〈𝑧, 𝑦〉 ∨ 𝑦 Btwn 〈𝑥, 𝑧〉)})〉})) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | eengstr 26769 | The Euclidean geometry as a structure. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (EEG‘𝑁) Struct 〈1, ;17〉) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | eengbas 26770 | The Base of the Euclidean geometry. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝔼‘𝑁) = (Base‘(EEG‘𝑁))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | ebtwntg 26771 | The betweenness relation used in the Tarski structure for the Euclidean geometry is the same as Btwn. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ) & ⊢ 𝑃 = (Base‘(EEG‘𝑁)) & ⊢ 𝐼 = (Itv‘(EEG‘𝑁)) & ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃) & ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃) & ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃) ⇒ ⊢ (𝜑 → (𝑍 Btwn 〈𝑋, 𝑌〉 ↔ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | ecgrtg 26772 | The congruence relation used in the Tarski structure for the Euclidean geometry is the same as Cgr. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ) & ⊢ 𝑃 = (Base‘(EEG‘𝑁)) & ⊢ − = (dist‘(EEG‘𝑁)) & ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃) & ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃) & ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃) & ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃) ⇒ ⊢ (𝜑 → (〈𝐴, 𝐵〉Cgr〈𝐶, 𝐷〉 ↔ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝐷))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | elntg 26773* | The line definition in the Tarski structure for the Euclidean geometry. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Apr-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑃 = (Base‘(EEG‘𝑁)) & ⊢ 𝐼 = (Itv‘(EEG‘𝑁)) ⇒ ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (LineG‘(EEG‘𝑁)) = (𝑥 ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))})) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | elntg2 26774* | The line definition in the Tarski structure for the Euclidean geometry. In contrast to elntg 26773, the betweenness can be strengthened by excluding 1 resp. 0 from the related intervals (because of 𝑥 ≠ 𝑦). (Contributed by AV, 14-Feb-2023.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑃 = (Base‘(EEG‘𝑁)) & ⊢ 𝐼 = (1...𝑁) ⇒ ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (LineG‘(EEG‘𝑁)) = (𝑥 ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (∃𝑘 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑘) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑘 · (𝑦‘𝑖))) ∨ ∃𝑙 ∈ (0[,)1)∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑙) · (𝑝‘𝑖)) + (𝑙 · (𝑦‘𝑖))) ∨ ∃𝑚 ∈ (0(,]1)∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑦‘𝑖) = (((1 − 𝑚) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑚 · (𝑝‘𝑖))))})) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | eengtrkg 26775 | The geometry structure for 𝔼↑𝑁 is a Tarski geometry. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (EEG‘𝑁) ∈ TarskiG) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | eengtrkge 26776 | The geometry structure for 𝔼↑𝑁 is a Euclidean geometry. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (EEG‘𝑁) ∈ TarskiGE) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Basic concepts:
Basic kinds of graphs:
Terms and properties of graphs:
Special kinds of graphs:
For the terms "Path", "Walk", "Trail", "Circuit", "Cycle" see the remarks below and the definitions in Section I.1 in [Bollobas] p. 4-5. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
In the following, the vertices and (indexed) edges for an arbitrary class 𝐺 (called "graph" in the following) are defined and examined. The main result of this section is to show that the set of vertices (Vtx‘𝐺) of a graph 𝐺 is the first component 𝑉 of the graph 𝐺 if it is represented by an ordered pair 〈𝑉, 𝐸〉 (see opvtxfv 26792), or the base set (Base‘𝐺) of the graph 𝐺 if it is represented as extensible structure (see basvtxval 26804), and that the set of indexed edges resp. the edge function (iEdg‘𝐺) is the second component 𝐸 of the graph 𝐺 if it is represented by an ordered pair 〈𝑉, 𝐸〉 (see opiedgfv 26795), or the component (.ef‘𝐺) of the graph 𝐺 if it is represented as extensible structure (see edgfiedgval 26805). Finally, it is shown that the set of edges of a graph 𝐺 is the range of its edge function: (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺), see edgval 26837. Usually, a graph 𝐺 is a set. If 𝐺 is a proper class, however, it represents the null graph (without vertices and edges), because (Vtx‘𝐺) = ∅ and (iEdg‘𝐺) = ∅ holds, see vtxvalprc 26833 and iedgvalprc 26834. Up to the end of this section, the edges need not be related to the vertices. Once undirected hypergraphs are defined (see df-uhgr 26846), the edges become nonempty sets of vertices, and by this obtain their meaning as "connectors" of vertices. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Syntax | cedgf 26777 | Extend class notation with an edge function. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
class .ef | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Definition | df-edgf 26778 | Define the edge function (indexed edges) of a graph. (Contributed by AV, 18-Jan-2020.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ .ef = Slot ;18 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | edgfid 26779 | Utility theorem: index-independent form of df-edgf 26778. (Contributed by AV, 16-Nov-2021.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ .ef = Slot (.ef‘ndx) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | edgfndxnn 26780 | The index value of the edge function extractor is a positive integer. This property should be ensured for every concrete coding because otherwise it could not be used in an extensible structure (slots must be positive integers). (Contributed by AV, 21-Sep-2020.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (.ef‘ndx) ∈ ℕ | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | edgfndxid 26781 | The value of the edge function extractor is the value of the corresponding slot of the structure. (Contributed by AV, 21-Sep-2020.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (.ef‘𝐺) = (𝐺‘(.ef‘ndx))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | baseltedgf 26782 | The index value of the Base slot is less than the index value of the .ef slot. (Contributed by AV, 21-Sep-2020.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (Base‘ndx) < (.ef‘ndx) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | slotsbaseefdif 26783 | The slots Base and .ef are different. (Contributed by AV, 21-Sep-2020.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (Base‘ndx) ≠ (.ef‘ndx) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
The key concepts in graph theory are vertices and edges. In general, a graph "consists" (at least) of two sets: the set of vertices and the set of edges. The edges "connect" vertices. The meaning of "connect" is different for different kinds of graphs (directed/undirected graphs, hyper-/pseudo-/ multi-/simple graphs, etc.). The simplest way to represent a graph (of any kind) is to define a graph as "an ordered pair of disjoint sets (V, E)" (see section I.1 in [Bollobas] p. 1), or in the notation of Metamath: 〈𝑉, 𝐸〉. Another way is to regard a graph as a mathematical structure, which consistes at least of a set (of vertices) and a relation between the vertices (edge function), but which can be enhanced by additional features (see Wikipedia "Mathematical structure", 24-Sep-2020, https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_structure): "In mathematics, a structure is a set endowed with some additional features on the set (e.g., operation, relation, metric, topology). Often, the additional features are attached or related to the set, so as to provide it with some additional meaning or significance.". Such structures are provided as "extensible structures" in Metamath, see df-struct 16488. To allow for expressing and proving most of the theorems for graphs independently from their representation, the functions Vtx and iEdg are defined (see df-vtx 26786 and df-iedg 26787), which provide the vertices resp. (indexed) edges of an arbitrary class 𝐺 which represents a graph: (Vtx‘𝐺) resp. (iEdg‘𝐺). In literature, these functions are often denoted also by "V" and "E", see section I.1 in [Bollobas] p. 1 ("If G is a graph, then V = V(G) is the vertex set of G, and E = E(G) is the edge set.") or section 1.1 in [Diestel] p. 2 ("The vertex set of graph G is referred to as V(G), its edge set as E(G)."). Instead of providing edges themselves, iEdg is intended to provide a function as mapping of "indices" (the domain of the function) to the edges (therefore called "set of indexed edges"), which allows for hyper-/pseudo-/multigraphs with more than one edge between two (or more) vertices. For example, e1 = e(1) = { a, b } and e2 = e(2) = { a, b } are two different edges connecting the same two vertices a and b (in a pseudograph). In section 1.10 of [Diestel] p. 28, the edge function is defined differently: as "map E -> V u. [V]^2 assigning to every edge either one or two vertices, its end.". Here, the domain is the set of abstract edges: for two different edges e1 and e2 connecting the same two vertices a and b, we would have e(e1) = e(e2) = { a, b }. Since the set of abstract edges can be chosen as index set, these definitions are equivalent. The result of these functions are as expected: for a graph represented as ordered pair (𝐺 ∈ (V × V)), the set of vertices is (Vtx‘𝐺) = (1st ‘𝐺) (see opvtxval 26791) and the set of (indexed) edges is (iEdg‘𝐺) = (2nd ‘𝐺) (see opiedgval 26794), or if 𝐺 is given as ordered pair 𝐺 = 〈𝑉, 𝐸〉, the set of vertices is (Vtx‘𝐺) = 𝑉 (see opvtxfv 26792) and the set of (indexed) edges is (iEdg‘𝐺) = 𝐸 (see opiedgfv 26795). And for a graph represented as extensible structure (𝐺 Struct 〈(Base‘ndx), (.ef‘ndx)〉), the set of vertices is (Vtx‘𝐺) = (Base‘𝐺) (see funvtxval 26806) and the set of (indexed) edges is (iEdg‘𝐺) = (.ef‘𝐺) (see funiedgval 26807), or if 𝐺 is given in its simplest form as extensible structure with two slots (𝐺 = {〈(Base‘ndx), 𝑉〉, 〈(.ef‘ndx), 𝐸〉}), the set of vertices is (Vtx‘𝐺) = 𝑉 (see struct2grvtx 26815) and the set of (indexed) edges is (iEdg‘𝐺) = 𝐸 (see struct2griedg 26816). These two representations are convertible, see graop 26817 and grastruct 26818: If 𝐺 is a graph (for example 𝐺 = 〈𝑉, 𝐸〉), then 𝐻 = {〈(Base‘ndx), (Vtx‘𝐺)〉, 〈(.ef‘ndx), (iEdg‘𝐺)〉} represents essentially the same graph, and if 𝐺 is a graph (for example 𝐺 = {〈(Base‘ndx), 𝑉〉, 〈(.ef‘ndx), 𝐸〉}), then 𝐻 = 〈(Vtx‘𝐺), (iEdg‘𝐺)〉 represents essentially the same graph. In both cases, (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐻) and (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐻) hold. Theorems gropd 26819 and gropeld 26821 show that if any representation of a graph with vertices 𝑉 and edges 𝐸 has a certain property, then the ordered pair 〈𝑉, 𝐸〉 of the set of vertices and the set of edges (which is such a representation of a graph with vertices 𝑉 and edges 𝐸) has this property. Analogously, theorems grstructd 26820 and grstructeld 26822 show that if any representation of a graph with vertices 𝑉 and edges 𝐸 has a certain property, then any extensible structure with base set 𝑉 and value 𝐸 in the slot for edge functions (which is also such a representation of a graph with vertices 𝑉 and edges 𝐸) has this property. Besides the usual way to represent graphs without edges (consisting of unconnected vertices only), which would be 𝐺 = 〈𝑉, ∅〉 or 𝐺 = {〈(Base‘ndx), 𝑉〉, 〈(.ef‘ndx), ∅〉}, a structure without a slot for edges can be used: 𝐺 = {〈(Base‘ndx), 𝑉〉}, see snstrvtxval 26825 and snstriedgval 26826. Analogously, the empty set ∅ can be used to represent the null graph, see vtxval0 26827 and iedgval0 26828, which can also be represented by 𝐺 = 〈∅, ∅〉 or 𝐺 = {〈(Base‘ndx), ∅〉, 〈(.ef‘ndx), ∅〉}. Even proper classes can be used to represent the null graph, see vtxvalprc 26833 and iedgvalprc 26834. Other classes should not be used to represent graphs, because there could be a degenerate behavior of the vertex set and (indexed) edge functions, see vtxvalsnop 26829 resp. iedgvalsnop 26830, and vtxval3sn 26831 resp. iedgval3sn 26832. Avoid directly depending on this detail so that theorems will not depend on the Kuratowski construction of ordered pairs, see also the comment for df-op 4577. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Syntax | cvtx 26784 | Extend class notation with the vertices of "graphs". | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
class Vtx | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Syntax | ciedg 26785 | Extend class notation with the indexed edges of "graphs". | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
class iEdg | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Definition | df-vtx 26786 | Define the function mapping a graph to the set of its vertices. This definition is very general: It defines the set of vertices for any ordered pair as its first component, and for any other class as its "base set". It is meaningful, however, only if the ordered pair represents a graph resp. the class is an extensible structure representing a graph. (Contributed by AV, 9-Jan-2020.) (Revised by AV, 20-Sep-2020.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ Vtx = (𝑔 ∈ V ↦ if(𝑔 ∈ (V × V), (1st ‘𝑔), (Base‘𝑔))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Definition | df-iedg 26787 | Define the function mapping a graph to its indexed edges. This definition is very general: It defines the indexed edges for any ordered pair as its second component, and for any other class as its "edge function". It is meaningful, however, only if the ordered pair represents a graph resp. the class is an extensible structure (containing a slot for "edge functions") representing a graph. (Contributed by AV, 20-Sep-2020.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ iEdg = (𝑔 ∈ V ↦ if(𝑔 ∈ (V × V), (2nd ‘𝑔), (.ef‘𝑔))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | vtxval 26788 | The set of vertices of a graph. (Contributed by AV, 9-Jan-2020.) (Revised by AV, 21-Sep-2020.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (Vtx‘𝐺) = if(𝐺 ∈ (V × V), (1st ‘𝐺), (Base‘𝐺)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | iedgval 26789 | The set of indexed edges of a graph. (Contributed by AV, 21-Sep-2020.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (iEdg‘𝐺) = if(𝐺 ∈ (V × V), (2nd ‘𝐺), (.ef‘𝐺)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | 1vgrex 26790 | A graph with at least one vertex is a set. (Contributed by AV, 2-Mar-2021.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺) ⇒ ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ V) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | opvtxval 26791 | The set of vertices of a graph represented as an ordered pair of vertices and indexed edges. (Contributed by AV, 9-Jan-2020.) (Revised by AV, 21-Sep-2020.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝐺 ∈ (V × V) → (Vtx‘𝐺) = (1st ‘𝐺)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | opvtxfv 26792 | The set of vertices of a graph represented as an ordered pair of vertices and indexed edges as function value. (Contributed by AV, 21-Sep-2020.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (Vtx‘〈𝑉, 𝐸〉) = 𝑉) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | opvtxov 26793 | The set of vertices of a graph represented as an ordered pair of vertices and indexed edges as operation value. (Contributed by AV, 21-Sep-2020.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (𝑉Vtx𝐸) = 𝑉) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | opiedgval 26794 | The set of indexed edges of a graph represented as an ordered pair of vertices and indexed edges. (Contributed by AV, 21-Sep-2020.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝐺 ∈ (V × V) → (iEdg‘𝐺) = (2nd ‘𝐺)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | opiedgfv 26795 | The set of indexed edges of a graph represented as an ordered pair of vertices and indexed edges as function value. (Contributed by AV, 21-Sep-2020.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (iEdg‘〈𝑉, 𝐸〉) = 𝐸) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | opiedgov 26796 | The set of indexed edges of a graph represented as an ordered pair of vertices and indexed edges as operation value. (Contributed by AV, 21-Sep-2020.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (𝑉iEdg𝐸) = 𝐸) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | opvtxfvi 26797 | The set of vertices of a graph represented as an ordered pair of vertices and indexed edges as function value. (Contributed by AV, 4-Mar-2021.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑉 ∈ V & ⊢ 𝐸 ∈ V ⇒ ⊢ (Vtx‘〈𝑉, 𝐸〉) = 𝑉 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | opiedgfvi 26798 | The set of indexed edges of a graph represented as an ordered pair of vertices and indexed edges as function value. (Contributed by AV, 4-Mar-2021.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑉 ∈ V & ⊢ 𝐸 ∈ V ⇒ ⊢ (iEdg‘〈𝑉, 𝐸〉) = 𝐸 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | funvtxdmge2val 26799 | The set of vertices of an extensible structure with (at least) two slots. (Contributed by AV, 12-Oct-2020.) (Revised by AV, 7-Jun-2021.) (Revised by AV, 12-Nov-2021.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (♯‘dom 𝐺)) → (Vtx‘𝐺) = (Base‘𝐺)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | funiedgdmge2val 26800 | The set of indexed edges of an extensible structure with (at least) two slots. (Contributed by AV, 12-Oct-2020.) (Revised by AV, 7-Jun-2021.) (Revised by AV, 12-Nov-2021.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (♯‘dom 𝐺)) → (iEdg‘𝐺) = (.ef‘𝐺)) |
< Previous Next > |
Copyright terms: Public domain | < Previous Next > |