Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mncn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mncn0 37225
Description: A monic polynomial is not zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
mncn0 (𝑃 ∈ ( Monic ‘𝑆) → 𝑃 ≠ 0𝑝)

Proof of Theorem mncn0
StepHypRef Expression
1 mnccoe 37224 . 2 (𝑃 ∈ ( Monic ‘𝑆) → ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃)) = 1)
2 coe0 23933 . . . . . . 7 (coeff‘0𝑝) = (ℕ0 × {0})
32fveq1i 6154 . . . . . 6 ((coeff‘0𝑝)‘(deg‘0𝑝)) = ((ℕ0 × {0})‘(deg‘0𝑝))
4 dgr0 23939 . . . . . . . 8 (deg‘0𝑝) = 0
5 0nn0 11259 . . . . . . . 8 0 ∈ ℕ0
64, 5eqeltri 2694 . . . . . . 7 (deg‘0𝑝) ∈ ℕ0
7 c0ex 9986 . . . . . . . 8 0 ∈ V
87fvconst2 6429 . . . . . . 7 ((deg‘0𝑝) ∈ ℕ0 → ((ℕ0 × {0})‘(deg‘0𝑝)) = 0)
96, 8ax-mp 5 . . . . . 6 ((ℕ0 × {0})‘(deg‘0𝑝)) = 0
103, 9eqtri 2643 . . . . 5 ((coeff‘0𝑝)‘(deg‘0𝑝)) = 0
11 0ne1 11040 . . . . 5 0 ≠ 1
1210, 11eqnetri 2860 . . . 4 ((coeff‘0𝑝)‘(deg‘0𝑝)) ≠ 1
13 fveq2 6153 . . . . . 6 (𝑃 = 0𝑝 → (coeff‘𝑃) = (coeff‘0𝑝))
14 fveq2 6153 . . . . . 6 (𝑃 = 0𝑝 → (deg‘𝑃) = (deg‘0𝑝))
1513, 14fveq12d 6159 . . . . 5 (𝑃 = 0𝑝 → ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃)) = ((coeff‘0𝑝)‘(deg‘0𝑝)))
1615neeq1d 2849 . . . 4 (𝑃 = 0𝑝 → (((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃)) ≠ 1 ↔ ((coeff‘0𝑝)‘(deg‘0𝑝)) ≠ 1))
1712, 16mpbiri 248 . . 3 (𝑃 = 0𝑝 → ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃)) ≠ 1)
1817necon2i 2824 . 2 (((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃)) = 1 → 𝑃 ≠ 0𝑝)
191, 18syl 17 1 (𝑃 ∈ ( Monic ‘𝑆) → 𝑃 ≠ 0𝑝)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  {csn 4153   × cxp 5077  cfv 5852  0cc0 9888  1c1 9889  0cn0 11244  0𝑝c0p 23359  coeffccoe 23863  degcdgr 23864   Monic cmnc 37217
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966  ax-addf 9967
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-sup 8300  df-inf 8301  df-oi 8367  df-card 8717  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-rp 11785  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-fl 12541  df-seq 12750  df-exp 12809  df-hash 13066  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-clim 14161  df-rlim 14162  df-sum 14359  df-0p 23360  df-ply 23865  df-coe 23867  df-dgr 23868  df-mnc 37219
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator