Theorem mndass 17922

Description: A monoid operation is associative. (Contributed by NM, 14-Aug-2011.) (Proof shortened by AV, 8-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndcl.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mndass	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))

Proof of Theorem mndass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndsgrp 17919	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 𝐺 ∈ Smgrp)
2		mndcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		mndcl.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4	2, 3	sgrpass 17909	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))
5	1, 4	sylan 582	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  Basecbs 16485  +_gcplusg 16567  Smgrpcsgrp 17902  Mndcmnd 17913

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-nul 5212

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-iota 6316  df-fv 6365  df-ov 7161  df-sgrp 17903  df-mnd 17914

This theorem is referenced by:  mnd32g  17925  mnd12g  17926  mnd4g  17927  issubmnd  17940  mndinvmod  17943  prdsmndd  17946  imasmnd  17951  mndind  17994  gsumccatOLD  18007  grpass  18114  mhmmnd  18223  cntzsubm  18468  oppgmnd  18484  frgp0  18888  mulgnn0di  18948  gsumval3eu  19026  gsumval3  19029  srgass  19265  ringass  19316  mndvass  21005  chfacfscmulgsum  21470  chfacfpmmulgsum  21474  slmdass  30843  lidlmsgrp  44204  invginvrid  44422