MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mndass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mndass 17523
Description: A monoid operation is associative. (Contributed by NM, 14-Aug-2011.) (Proof shortened by AV, 8-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mndcl.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndcl.p + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
mndass ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))

Proof of Theorem mndass
StepHypRef Expression
1 mndsgrp 17520 . 2 (𝐺 ∈ Mnd → 𝐺 ∈ SGrp)
2 mndcl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 mndcl.p . . 3 + = (+g𝐺)
42, 3sgrpass 17511 . 2 ((𝐺 ∈ SGrp ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))
51, 4sylan 489 1 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  cfv 6049  (class class class)co 6814  Basecbs 16079  +gcplusg 16163  SGrpcsgrp 17504  Mndcmnd 17515
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-nul 4941
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-iota 6012  df-fv 6057  df-ov 6817  df-sgrp 17505  df-mnd 17516
This theorem is referenced by:  mnd32g  17526  mnd12g  17527  mnd4g  17528  issubmnd  17539  prdsmndd  17544  imasmnd  17549  mrcmndind  17587  gsumccat  17599  grpass  17652  mhmmnd  17758  mulgnndirOLD  17791  cntzsubm  17988  oppgmnd  18004  frgp0  18393  mulgnn0di  18451  gsumval3eu  18525  gsumval3  18528  srgass  18733  ringass  18784  mndvass  20420  chfacfscmulgsum  20887  chfacfpmmulgsum  20891  slmdass  30096  lidlmsgrp  42454  invginvrid  42676
  Copyright terms: Public domain W3C validator