Theorem mndcl 17502

Description: Closure of the operation of a monoid. (Contributed by NM, 14-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.) (Proof shortened by AV, 8-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndcl.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mndcl	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mndcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndmgm 17501	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 𝐺 ∈ Mgm)
2		mndcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		mndcl.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4	2, 3	mgmcl 17446	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mgm ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl3an1 1167	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  Basecbs 16059  +_gcplusg 16143  Mgmcmgm 17441  Mndcmnd 17495

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-nul 4941

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-iota 6012  df-fv 6057  df-ov 6816  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496

This theorem is referenced by:  mnd4g  17508  mndpropd  17517  issubmnd  17519  prdsplusgcl  17522  imasmnd  17529  idmhm  17545  mhmf1o  17546  issubmd  17550  0mhm  17559  mhmco  17563  mhmeql  17565  submacs  17566  mrcmndind  17567  prdspjmhm  17568  pwsdiagmhm  17570  pwsco1mhm  17571  pwsco2mhm  17572  gsumccat  17579  gsumwmhm  17583  grpcl  17631  mhmmnd  17738  mulgnnclOLD  17758  mulgnn0cl  17759  mulgnndirOLD  17771  cntzsubm  17968  oppgmnd  17984  lsmssv  18258  frgp0  18373  frgpadd  18376  mulgnn0di  18431  mulgmhm  18433  gsumval3eu  18505  gsumval3  18508  gsumzcl2  18511  gsumzaddlem  18521  gsumzmhm  18537  gsummptfzcl  18568  srgcl  18712  srgacl  18724  srgbinomlem  18744  srgbinom  18745  ringcl  18761  ringpropd  18782  mndvcl  20399  mhmvlin  20405  mat2pmatghm  20737  pm2mpghm  20823  cpmadugsumlemF  20883  tsmsadd  22151  omndadd2d  30017  omndadd2rd  30018  slmdacl  30071  slmdvacl  30074  gsumncl  30923  c0mhm  42420  ofaddmndmap  42632  lincsum  42728