Theorem mndcl 17222

Description: Closure of the operation of a monoid. (Contributed by NM, 14-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.) (Proof shortened by AV, 8-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndcl.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mndcl	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mndcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndmgm 17221	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 𝐺 ∈ Mgm)
2		mndcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		mndcl.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4	2, 3	mgmcl 17166	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mgm ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl3an1 1356	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  Basecbs 15781  +_gcplusg 15862  Mgmcmgm 17161  Mndcmnd 17215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-nul 4749

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-iota 5810  df-fv 5855  df-ov 6607  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216

This theorem is referenced by:  mnd4g  17228  mndpropd  17237  issubmnd  17239  prdsplusgcl  17242  imasmnd  17249  idmhm  17265  mhmf1o  17266  issubmd  17270  0mhm  17279  mhmco  17283  mhmeql  17285  submacs  17286  mrcmndind  17287  prdspjmhm  17288  pwsdiagmhm  17290  pwsco1mhm  17291  pwsco2mhm  17292  gsumccat  17299  gsumwmhm  17303  grpcl  17351  mhmmnd  17458  mulgnnclOLD  17478  mulgnn0cl  17479  mulgnndirOLD  17491  cntzsubm  17689  oppgmnd  17705  lsmssv  17979  frgp0  18094  frgpadd  18097  mulgnn0di  18152  mulgmhm  18154  gsumval3eu  18226  gsumval3  18229  gsumzcl2  18232  gsumzaddlem  18242  gsumzmhm  18258  gsummptfzcl  18289  srgcl  18433  srgacl  18445  srgbinomlem  18465  srgbinom  18466  ringcl  18482  ringpropd  18503  mndvcl  20116  mhmvlin  20122  mat2pmatghm  20454  pm2mpghm  20540  cpmadugsumlemF  20600  tsmsadd  21860  omndadd2d  29490  omndadd2rd  29491  slmdacl  29544  slmdvacl  29547  gsumncl  30392  c0mhm  41195  ofaddmndmap  41407  lincsum  41503