MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mndodconglem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mndodconglem 17881
Description: Lemma for mndodcong 17882. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odcl.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl.2 𝑂 = (od‘𝐺)
odid.3 · = (.g𝐺)
odid.4 0 = (0g𝐺)
mndodconglem.1 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
mndodconglem.2 (𝜑𝐴𝑋)
mndodconglem.3 (𝜑 → (𝑂𝐴) ∈ ℕ)
mndodconglem.4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
mndodconglem.5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
mndodconglem.6 (𝜑𝑀 < (𝑂𝐴))
mndodconglem.7 (𝜑𝑁 < (𝑂𝐴))
mndodconglem.8 (𝜑 → (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
Assertion
Ref Expression
mndodconglem ((𝜑𝑀𝑁) → 𝑀 = 𝑁)

Proof of Theorem mndodconglem
StepHypRef Expression
1 mndodconglem.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑋)
2 mndodconglem.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑂𝐴) ∈ ℕ)
32nnred 10979 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑂𝐴) ∈ ℝ)
43recnd 10012 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑂𝐴) ∈ ℂ)
5 mndodconglem.4 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
65nn0red 11296 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
76recnd 10012 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
8 mndodconglem.5 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
98nn0red 11296 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
109recnd 10012 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
114, 7, 10addsubassd 10356 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑂𝐴) + 𝑀) − 𝑁) = ((𝑂𝐴) + (𝑀𝑁)))
122nnzd 11425 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑂𝐴) ∈ ℤ)
135nn0zd 11424 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
1412, 13zaddcld 11430 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑂𝐴) + 𝑀) ∈ ℤ)
1514zred 11426 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑂𝐴) + 𝑀) ∈ ℝ)
16 mndodconglem.7 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 < (𝑂𝐴))
17 nn0addge1 11283 . . . . . . . . . . 11 (((𝑂𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑂𝐴) ≤ ((𝑂𝐴) + 𝑀))
183, 5, 17syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑂𝐴) ≤ ((𝑂𝐴) + 𝑀))
199, 3, 15, 16, 18ltletrd 10141 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 < ((𝑂𝐴) + 𝑀))
208nn0zd 11424 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
21 znnsub 11367 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑂𝐴) + 𝑀) ∈ ℤ) → (𝑁 < ((𝑂𝐴) + 𝑀) ↔ (((𝑂𝐴) + 𝑀) − 𝑁) ∈ ℕ))
2220, 14, 21syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 < ((𝑂𝐴) + 𝑀) ↔ (((𝑂𝐴) + 𝑀) − 𝑁) ∈ ℕ))
2319, 22mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑂𝐴) + 𝑀) − 𝑁) ∈ ℕ)
2411, 23eqeltrrd 2699 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑂𝐴) + (𝑀𝑁)) ∈ ℕ)
254, 7, 10addsub12d 10359 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑂𝐴) + (𝑀𝑁)) = (𝑀 + ((𝑂𝐴) − 𝑁)))
2625oveq1d 6619 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑂𝐴) + (𝑀𝑁)) · 𝐴) = ((𝑀 + ((𝑂𝐴) − 𝑁)) · 𝐴))
27 mndodconglem.8 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
2827oveq1d 6619 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑀 · 𝐴)(+g𝐺)(((𝑂𝐴) − 𝑁) · 𝐴)) = ((𝑁 · 𝐴)(+g𝐺)(((𝑂𝐴) − 𝑁) · 𝐴)))
29 mndodconglem.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
30 znnsub 11367 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℤ) → (𝑁 < (𝑂𝐴) ↔ ((𝑂𝐴) − 𝑁) ∈ ℕ))
3120, 12, 30syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁 < (𝑂𝐴) ↔ ((𝑂𝐴) − 𝑁) ∈ ℕ))
3216, 31mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑂𝐴) − 𝑁) ∈ ℕ)
3332nnnn0d 11295 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑂𝐴) − 𝑁) ∈ ℕ0)
34 odcl.1 . . . . . . . . . . . 12 𝑋 = (Base‘𝐺)
35 odid.3 . . . . . . . . . . . 12 · = (.g𝐺)
36 eqid 2621 . . . . . . . . . . . 12 (+g𝐺) = (+g𝐺)
3734, 35, 36mulgnn0dir 17492 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑂𝐴) − 𝑁) ∈ ℕ0𝐴𝑋)) → ((𝑀 + ((𝑂𝐴) − 𝑁)) · 𝐴) = ((𝑀 · 𝐴)(+g𝐺)(((𝑂𝐴) − 𝑁) · 𝐴)))
3829, 5, 33, 1, 37syl13anc 1325 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑀 + ((𝑂𝐴) − 𝑁)) · 𝐴) = ((𝑀 · 𝐴)(+g𝐺)(((𝑂𝐴) − 𝑁) · 𝐴)))
3934, 35, 36mulgnn0dir 17492 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑂𝐴) − 𝑁) ∈ ℕ0𝐴𝑋)) → ((𝑁 + ((𝑂𝐴) − 𝑁)) · 𝐴) = ((𝑁 · 𝐴)(+g𝐺)(((𝑂𝐴) − 𝑁) · 𝐴)))
4029, 8, 33, 1, 39syl13anc 1325 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑁 + ((𝑂𝐴) − 𝑁)) · 𝐴) = ((𝑁 · 𝐴)(+g𝐺)(((𝑂𝐴) − 𝑁) · 𝐴)))
4128, 38, 403eqtr4d 2665 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀 + ((𝑂𝐴) − 𝑁)) · 𝐴) = ((𝑁 + ((𝑂𝐴) − 𝑁)) · 𝐴))
4210, 4pncan3d 10339 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 + ((𝑂𝐴) − 𝑁)) = (𝑂𝐴))
4342oveq1d 6619 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑁 + ((𝑂𝐴) − 𝑁)) · 𝐴) = ((𝑂𝐴) · 𝐴))
44 odcl.2 . . . . . . . . . . . 12 𝑂 = (od‘𝐺)
45 odid.4 . . . . . . . . . . . 12 0 = (0g𝐺)
4634, 44, 35, 45odid 17878 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝑋 → ((𝑂𝐴) · 𝐴) = 0 )
471, 46syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑂𝐴) · 𝐴) = 0 )
4843, 47eqtrd 2655 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁 + ((𝑂𝐴) − 𝑁)) · 𝐴) = 0 )
4941, 48eqtrd 2655 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑀 + ((𝑂𝐴) − 𝑁)) · 𝐴) = 0 )
5026, 49eqtrd 2655 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑂𝐴) + (𝑀𝑁)) · 𝐴) = 0 )
5134, 44, 35, 45odlem2 17879 . . . . . . 7 ((𝐴𝑋 ∧ ((𝑂𝐴) + (𝑀𝑁)) ∈ ℕ ∧ (((𝑂𝐴) + (𝑀𝑁)) · 𝐴) = 0 ) → (𝑂𝐴) ∈ (1...((𝑂𝐴) + (𝑀𝑁))))
521, 24, 50, 51syl3anc 1323 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑂𝐴) ∈ (1...((𝑂𝐴) + (𝑀𝑁))))
53 elfzle2 12287 . . . . . 6 ((𝑂𝐴) ∈ (1...((𝑂𝐴) + (𝑀𝑁))) → (𝑂𝐴) ≤ ((𝑂𝐴) + (𝑀𝑁)))
5452, 53syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂𝐴) ≤ ((𝑂𝐴) + (𝑀𝑁)))
5513, 20zsubcld 11431 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀𝑁) ∈ ℤ)
5655zred 11426 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀𝑁) ∈ ℝ)
573, 56addge01d 10559 . . . . 5 (𝜑 → (0 ≤ (𝑀𝑁) ↔ (𝑂𝐴) ≤ ((𝑂𝐴) + (𝑀𝑁))))
5854, 57mpbird 247 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ (𝑀𝑁))
596, 9subge0d 10561 . . . 4 (𝜑 → (0 ≤ (𝑀𝑁) ↔ 𝑁𝑀))
6058, 59mpbid 222 . . 3 (𝜑𝑁𝑀)
616, 9letri3d 10123 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑀𝑁𝑁𝑀)))
6261biimprd 238 . . 3 (𝜑 → ((𝑀𝑁𝑁𝑀) → 𝑀 = 𝑁))
6360, 62mpan2d 709 . 2 (𝜑 → (𝑀𝑁𝑀 = 𝑁))
6463imp 445 1 ((𝜑𝑀𝑁) → 𝑀 = 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987   class class class wbr 4613  cfv 5847  (class class class)co 6604  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   < clt 10018  cle 10019  cmin 10210  cn 10964  0cn0 11236  cz 11321  ...cfz 12268  Basecbs 15781  +gcplusg 15862  0gc0g 16021  Mndcmnd 17215  .gcmg 17461  odcod 17865
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-seq 12742  df-0g 16023  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-mulg 17462  df-od 17869
This theorem is referenced by:  mndodcong  17882
  Copyright terms: Public domain W3C validator