MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mndodconglem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mndodconglem 18598
Description: Lemma for mndodcong 18599. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odcl.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl.2 𝑂 = (od‘𝐺)
odid.3 · = (.g𝐺)
odid.4 0 = (0g𝐺)
mndodconglem.1 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
mndodconglem.2 (𝜑𝐴𝑋)
mndodconglem.3 (𝜑 → (𝑂𝐴) ∈ ℕ)
mndodconglem.4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
mndodconglem.5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
mndodconglem.6 (𝜑𝑀 < (𝑂𝐴))
mndodconglem.7 (𝜑𝑁 < (𝑂𝐴))
mndodconglem.8 (𝜑 → (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
Assertion
Ref Expression
mndodconglem ((𝜑𝑀𝑁) → 𝑀 = 𝑁)

Proof of Theorem mndodconglem
StepHypRef Expression
1 mndodconglem.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑋)
2 mndodconglem.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑂𝐴) ∈ ℕ)
32nnred 11641 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑂𝐴) ∈ ℝ)
43recnd 10657 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑂𝐴) ∈ ℂ)
5 mndodconglem.4 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
65nn0red 11944 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
76recnd 10657 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
8 mndodconglem.5 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
98nn0red 11944 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
109recnd 10657 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
114, 7, 10addsubassd 11005 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑂𝐴) + 𝑀) − 𝑁) = ((𝑂𝐴) + (𝑀𝑁)))
122nnzd 12074 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑂𝐴) ∈ ℤ)
135nn0zd 12073 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
1412, 13zaddcld 12079 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑂𝐴) + 𝑀) ∈ ℤ)
1514zred 12075 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑂𝐴) + 𝑀) ∈ ℝ)
16 mndodconglem.7 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 < (𝑂𝐴))
17 nn0addge1 11931 . . . . . . . . . . 11 (((𝑂𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑂𝐴) ≤ ((𝑂𝐴) + 𝑀))
183, 5, 17syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑂𝐴) ≤ ((𝑂𝐴) + 𝑀))
199, 3, 15, 16, 18ltletrd 10788 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 < ((𝑂𝐴) + 𝑀))
208nn0zd 12073 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
21 znnsub 12016 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑂𝐴) + 𝑀) ∈ ℤ) → (𝑁 < ((𝑂𝐴) + 𝑀) ↔ (((𝑂𝐴) + 𝑀) − 𝑁) ∈ ℕ))
2220, 14, 21syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 < ((𝑂𝐴) + 𝑀) ↔ (((𝑂𝐴) + 𝑀) − 𝑁) ∈ ℕ))
2319, 22mpbid 233 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑂𝐴) + 𝑀) − 𝑁) ∈ ℕ)
2411, 23eqeltrrd 2911 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑂𝐴) + (𝑀𝑁)) ∈ ℕ)
254, 7, 10addsub12d 11008 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑂𝐴) + (𝑀𝑁)) = (𝑀 + ((𝑂𝐴) − 𝑁)))
2625oveq1d 7160 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑂𝐴) + (𝑀𝑁)) · 𝐴) = ((𝑀 + ((𝑂𝐴) − 𝑁)) · 𝐴))
27 mndodconglem.8 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
2827oveq1d 7160 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑀 · 𝐴)(+g𝐺)(((𝑂𝐴) − 𝑁) · 𝐴)) = ((𝑁 · 𝐴)(+g𝐺)(((𝑂𝐴) − 𝑁) · 𝐴)))
29 mndodconglem.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
30 znnsub 12016 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℤ) → (𝑁 < (𝑂𝐴) ↔ ((𝑂𝐴) − 𝑁) ∈ ℕ))
3120, 12, 30syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁 < (𝑂𝐴) ↔ ((𝑂𝐴) − 𝑁) ∈ ℕ))
3216, 31mpbid 233 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑂𝐴) − 𝑁) ∈ ℕ)
3332nnnn0d 11943 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑂𝐴) − 𝑁) ∈ ℕ0)
34 odcl.1 . . . . . . . . . . . 12 𝑋 = (Base‘𝐺)
35 odid.3 . . . . . . . . . . . 12 · = (.g𝐺)
36 eqid 2818 . . . . . . . . . . . 12 (+g𝐺) = (+g𝐺)
3734, 35, 36mulgnn0dir 18195 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑂𝐴) − 𝑁) ∈ ℕ0𝐴𝑋)) → ((𝑀 + ((𝑂𝐴) − 𝑁)) · 𝐴) = ((𝑀 · 𝐴)(+g𝐺)(((𝑂𝐴) − 𝑁) · 𝐴)))
3829, 5, 33, 1, 37syl13anc 1364 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑀 + ((𝑂𝐴) − 𝑁)) · 𝐴) = ((𝑀 · 𝐴)(+g𝐺)(((𝑂𝐴) − 𝑁) · 𝐴)))
3934, 35, 36mulgnn0dir 18195 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑂𝐴) − 𝑁) ∈ ℕ0𝐴𝑋)) → ((𝑁 + ((𝑂𝐴) − 𝑁)) · 𝐴) = ((𝑁 · 𝐴)(+g𝐺)(((𝑂𝐴) − 𝑁) · 𝐴)))
4029, 8, 33, 1, 39syl13anc 1364 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑁 + ((𝑂𝐴) − 𝑁)) · 𝐴) = ((𝑁 · 𝐴)(+g𝐺)(((𝑂𝐴) − 𝑁) · 𝐴)))
4128, 38, 403eqtr4d 2863 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀 + ((𝑂𝐴) − 𝑁)) · 𝐴) = ((𝑁 + ((𝑂𝐴) − 𝑁)) · 𝐴))
4210, 4pncan3d 10988 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 + ((𝑂𝐴) − 𝑁)) = (𝑂𝐴))
4342oveq1d 7160 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑁 + ((𝑂𝐴) − 𝑁)) · 𝐴) = ((𝑂𝐴) · 𝐴))
44 odcl.2 . . . . . . . . . . . 12 𝑂 = (od‘𝐺)
45 odid.4 . . . . . . . . . . . 12 0 = (0g𝐺)
4634, 44, 35, 45odid 18595 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝑋 → ((𝑂𝐴) · 𝐴) = 0 )
471, 46syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑂𝐴) · 𝐴) = 0 )
4843, 47eqtrd 2853 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁 + ((𝑂𝐴) − 𝑁)) · 𝐴) = 0 )
4941, 48eqtrd 2853 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑀 + ((𝑂𝐴) − 𝑁)) · 𝐴) = 0 )
5026, 49eqtrd 2853 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑂𝐴) + (𝑀𝑁)) · 𝐴) = 0 )
5134, 44, 35, 45odlem2 18596 . . . . . . 7 ((𝐴𝑋 ∧ ((𝑂𝐴) + (𝑀𝑁)) ∈ ℕ ∧ (((𝑂𝐴) + (𝑀𝑁)) · 𝐴) = 0 ) → (𝑂𝐴) ∈ (1...((𝑂𝐴) + (𝑀𝑁))))
521, 24, 50, 51syl3anc 1363 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑂𝐴) ∈ (1...((𝑂𝐴) + (𝑀𝑁))))
53 elfzle2 12899 . . . . . 6 ((𝑂𝐴) ∈ (1...((𝑂𝐴) + (𝑀𝑁))) → (𝑂𝐴) ≤ ((𝑂𝐴) + (𝑀𝑁)))
5452, 53syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂𝐴) ≤ ((𝑂𝐴) + (𝑀𝑁)))
5513, 20zsubcld 12080 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀𝑁) ∈ ℤ)
5655zred 12075 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀𝑁) ∈ ℝ)
573, 56addge01d 11216 . . . . 5 (𝜑 → (0 ≤ (𝑀𝑁) ↔ (𝑂𝐴) ≤ ((𝑂𝐴) + (𝑀𝑁))))
5854, 57mpbird 258 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ (𝑀𝑁))
596, 9subge0d 11218 . . . 4 (𝜑 → (0 ≤ (𝑀𝑁) ↔ 𝑁𝑀))
6058, 59mpbid 233 . . 3 (𝜑𝑁𝑀)
616, 9letri3d 10770 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑀𝑁𝑁𝑀)))
6261biimprd 249 . . 3 (𝜑 → ((𝑀𝑁𝑁𝑀) → 𝑀 = 𝑁))
6360, 62mpan2d 690 . 2 (𝜑 → (𝑀𝑁𝑀 = 𝑁))
6463imp 407 1 ((𝜑𝑀𝑁) → 𝑀 = 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   < clt 10663  cle 10664  cmin 10858  cn 11626  0cn0 11885  cz 11969  ...cfz 12880  Basecbs 16471  +gcplusg 16553  0gc0g 16701  Mndcmnd 17899  .gcmg 18162  odcod 18581
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-seq 13358  df-0g 16703  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-mulg 18163  df-od 18585
This theorem is referenced by:  mndodcong  18599
  Copyright terms: Public domain W3C validator