MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mndrid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mndrid 17252
Description: The identity element of a monoid is a right identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
mndlrid.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndlrid.p + = (+g𝐺)
mndlrid.o 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
mndrid ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)

Proof of Theorem mndrid
StepHypRef Expression
1 mndlrid.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 mndlrid.p . . 3 + = (+g𝐺)
3 mndlrid.o . . 3 0 = (0g𝐺)
41, 2, 3mndlrid 17250 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋𝐵) → (( 0 + 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 + 0 ) = 𝑋))
54simprd 479 1 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  cfv 5857  (class class class)co 6615  Basecbs 15800  +gcplusg 15881  0gc0g 16040  Mndcmnd 17234
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-0g 16042  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235
This theorem is referenced by:  mndpfo  17254  issubmnd  17258  ress0g  17259  submnd0  17260  prdsidlem  17262  imasmnd  17268  mrcmndind  17306  gsumccat  17318  grprid  17393  mhmid  17476  mhmmnd  17477  mulgnn0dir  17511  cntzsubm  17708  oppgmnd  17724  lsmub1x  18001  gsumval3  18248  gsumzsplit  18267  srgbinomlem3  18482  mndvrid  20140  mndifsplit  20382  gsummatr01  20405  smadiadet  20416  pmatcollpw3fi1lem1  20531  chfacfscmulgsum  20605  chfacfpmmulgsum  20609  tsmssplit  21895  tsmsxp  21898  slmd0vrid  29603  gsummptres  29611
  Copyright terms: Public domain W3C validator