MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mndvrid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mndvrid 19961
Description: Tuple-wise right identity in monoids. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mndvcl.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
mndvcl.p + = (+g𝑀)
mndvlid.z 0 = (0g𝑀)
Assertion
Ref Expression
mndvrid ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) → (𝑋𝑓 + (𝐼 × { 0 })) = 𝑋)

Proof of Theorem mndvrid
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmapex 7741 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V))
21simprd 477 . . 3 (𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) → 𝐼 ∈ V)
32adantl 480 . 2 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) → 𝐼 ∈ V)
4 elmapi 7742 . . 3 (𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) → 𝑋:𝐼𝐵)
54adantl 480 . 2 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) → 𝑋:𝐼𝐵)
6 mndvcl.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑀)
7 mndvlid.z . . . 4 0 = (0g𝑀)
86, 7mndidcl 17077 . . 3 (𝑀 ∈ Mnd → 0𝐵)
98adantr 479 . 2 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) → 0𝐵)
10 mndvcl.p . . . 4 + = (+g𝑀)
116, 10, 7mndrid 17081 . . 3 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥 + 0 ) = 𝑥)
1211adantlr 746 . 2 (((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥 + 0 ) = 𝑥)
133, 5, 9, 12caofid0r 6801 1 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) → (𝑋𝑓 + (𝐼 × { 0 })) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  Vcvv 3172  {csn 4124   × cxp 5026  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  𝑓 cof 6770  𝑚 cmap 7721  Basecbs 15641  +gcplusg 15714  0gc0g 15869  Mndcmnd 17063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-map 7723  df-0g 15871  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator