MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mnflt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mnflt 11901
Description: Minus infinity is less than any (finite) real. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
mnflt (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)

Proof of Theorem mnflt
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . . . 4 -∞ = -∞
2 olc 399 . . . 4 ((-∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((-∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)))
31, 2mpan 705 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((-∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)))
43olcd 408 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ((((-∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ -∞ < 𝐴) ∨ (-∞ = -∞ ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((-∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ))))
5 mnfxr 10040 . . 3 -∞ ∈ ℝ*
6 rexr 10029 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
7 ltxr 11893 . . 3 ((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (-∞ < 𝐴 ↔ ((((-∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ -∞ < 𝐴) ∨ (-∞ = -∞ ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((-∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)))))
85, 6, 7sylancr 694 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (-∞ < 𝐴 ↔ ((((-∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ -∞ < 𝐴) ∨ (-∞ = -∞ ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((-∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)))))
94, 8mpbird 247 1 (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987   class class class wbr 4613  cr 9879   < cltrr 9884  +∞cpnf 10015  -∞cmnf 10016  *cxr 10017   < clt 10018
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-xp 5080  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023
This theorem is referenced by:  mnfltd  11902  mnflt0  11903  mnfltxr  11905  xrlttri  11916  xrlttr  11917  xrrebnd  11942  xrre3  11945  qbtwnxr  11974  xltnegi  11990  xrsupsslem  12080  xrub  12085  supxrre  12100  elico2  12179  elicc2  12180  ioomax  12190  elioomnf  12210  difreicc  12246  icopnfcld  22481  iocmnfcld  22482  tgioo  22507  xrtgioo  22517  reconnlem1  22537  reconnlem2  22538  bndth  22665  ovoliunlem1  23177  ovoliun  23180  ioombl1lem2  23234  mbfmax  23322  ismbf3d  23327  itg2seq  23415  dvferm1lem  23651  dvferm2lem  23653  degltlem1  23736  ply1divex  23800  dvdsq1p  23824  ellogdm  24285  logdmnrp  24287  atans2  24558  esumcvgsum  29931  dya2iocbrsiga  30118  dya2icobrsiga  30119  orvclteel  30315  iooelexlt  32842  itg2addnclem  33093  asindmre  33127  dvasin  33128  dvacos  33129  rfcnpre4  38676  infrpge  39031  infxr  39047  infxrunb2  39048  infleinflem2  39051  icccncfext  39404  fourierdlem113  39743  fouriersw  39755  iccpartigtl  40657
  Copyright terms: Public domain W3C validator