MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mnfltd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mnfltd 11943
Description: Minus infinity is less than any (finite) real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
mnfltd.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
mnfltd (𝜑 → -∞ < 𝐴)

Proof of Theorem mnfltd
StepHypRef Expression
1 mnfltd.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 mnflt 11942 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → -∞ < 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1988   class class class wbr 4644  cr 9920  -∞cmnf 10057   < clt 10059
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ral 2914  df-rex 2915  df-rab 2918  df-v 3197  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-br 4645  df-opab 4704  df-xp 5110  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064
This theorem is referenced by:  infxrre  12151  caucvgrlem  14384  areacirclem5  33475  infleinflem2  39400  xrralrecnnge  39426  icoopn  39554  icomnfinre  39582  ressiocsup  39584  ressioosup  39585  preimaiocmnf  39591  limciccioolb  39653  limsupre  39673  limcresioolb  39675  limcleqr  39676  fourierdlem32  40119  fourierdlem46  40132  fourierdlem48  40134  fourierdlem49  40135  fourierdlem74  40160  fourierdlem88  40174  fourierdlem95  40181  fourierdlem103  40189  fourierdlem104  40190  fouriersw  40211  ioorrnopnxrlem  40289  hspdifhsp  40593  hspmbllem2  40604  pimltmnf2  40674  pimgtmnf2  40687  smfsuplem1  40780
  Copyright terms: Public domain W3C validator