MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mnfnei Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mnfnei 20783
Description: A neighborhood of -∞ contains an unbounded interval based at a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
mnfnei ((𝐴 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ -∞ ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝐴)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem mnfnei
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑢 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2610 . . . 4 ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) = ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞))
2 eqid 2610 . . . 4 ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦)) = ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦))
3 eqid 2610 . . . 4 ran (,) = ran (,)
41, 2, 3leordtval 20775 . . 3 (ordTop‘ ≤ ) = (topGen‘((ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) ∪ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦))) ∪ ran (,)))
54eleq2i 2680 . 2 (𝐴 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ↔ 𝐴 ∈ (topGen‘((ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) ∪ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦))) ∪ ran (,))))
6 tg2 20528 . . 3 ((𝐴 ∈ (topGen‘((ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) ∪ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦))) ∪ ran (,))) ∧ -∞ ∈ 𝐴) → ∃𝑢 ∈ ((ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) ∪ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦))) ∪ ran (,))(-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴))
7 elun 3715 . . . . 5 (𝑢 ∈ ((ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) ∪ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦))) ∪ ran (,)) ↔ (𝑢 ∈ (ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) ∪ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦))) ∨ 𝑢 ∈ ran (,)))
8 elun 3715 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ (ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) ∪ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦))) ↔ (𝑢 ∈ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) ∨ 𝑢 ∈ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦))))
9 vex 3176 . . . . . . . . . 10 𝑢 ∈ V
10 eqid 2610 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) = (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞))
1110elrnmpt 5280 . . . . . . . . . 10 (𝑢 ∈ V → (𝑢 ∈ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ* 𝑢 = (𝑦(,]+∞)))
129, 11ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∈ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ* 𝑢 = (𝑦(,]+∞))
13 nltmnf 11803 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ* → ¬ 𝑦 < -∞)
14 pnfxr 11784 . . . . . . . . . . . . . . . 16 +∞ ∈ ℝ*
15 elioc1 12047 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-∞ ∈ (𝑦(,]+∞) ↔ (-∞ ∈ ℝ*𝑦 < -∞ ∧ -∞ ≤ +∞)))
1614, 15mpan2 703 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℝ* → (-∞ ∈ (𝑦(,]+∞) ↔ (-∞ ∈ ℝ*𝑦 < -∞ ∧ -∞ ≤ +∞)))
17 simp2 1055 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-∞ ∈ ℝ*𝑦 < -∞ ∧ -∞ ≤ +∞) → 𝑦 < -∞)
1816, 17syl6bi 242 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ* → (-∞ ∈ (𝑦(,]+∞) → 𝑦 < -∞))
1913, 18mtod 188 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ* → ¬ -∞ ∈ (𝑦(,]+∞))
20 eleq2 2677 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = (𝑦(,]+∞) → (-∞ ∈ 𝑢 ↔ -∞ ∈ (𝑦(,]+∞)))
2120notbid 307 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = (𝑦(,]+∞) → (¬ -∞ ∈ 𝑢 ↔ ¬ -∞ ∈ (𝑦(,]+∞)))
2219, 21syl5ibrcom 236 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ* → (𝑢 = (𝑦(,]+∞) → ¬ -∞ ∈ 𝑢))
2322rexlimiv 3009 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑦 ∈ ℝ* 𝑢 = (𝑦(,]+∞) → ¬ -∞ ∈ 𝑢)
2423pm2.21d 117 . . . . . . . . . 10 (∃𝑦 ∈ ℝ* 𝑢 = (𝑦(,]+∞) → (-∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑥 ∈ ℝ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝐴))
2524adantrd 483 . . . . . . . . 9 (∃𝑦 ∈ ℝ* 𝑢 = (𝑦(,]+∞) → ((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝐴))
2612, 25sylbi 206 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) → ((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝐴))
27 eqid 2610 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦)) = (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦))
2827elrnmpt 5280 . . . . . . . . . 10 (𝑢 ∈ V → (𝑢 ∈ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ* 𝑢 = (-∞[,)𝑦)))
299, 28ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∈ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ* 𝑢 = (-∞[,)𝑦))
30 mnfxr 11786 . . . . . . . . . . . . . 14 -∞ ∈ ℝ*
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → -∞ ∈ ℝ*)
32 0xr 9943 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ*
33 simprl 790 . . . . . . . . . . . . . 14 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → 𝑦 ∈ ℝ*)
34 ifcl 4080 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) ∈ ℝ*)
3532, 33, 34sylancr 694 . . . . . . . . . . . . 13 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) ∈ ℝ*)
3614a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → +∞ ∈ ℝ*)
37 mnflt0 11799 . . . . . . . . . . . . . 14 -∞ < 0
38 simpll 786 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → -∞ ∈ 𝑢)
39 simprr 792 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → 𝑢 = (-∞[,)𝑦))
4038, 39eleqtrd 2690 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → -∞ ∈ (-∞[,)𝑦))
41 elico1 12048 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (-∞ ∈ (-∞[,)𝑦) ↔ (-∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ -∞ ∧ -∞ < 𝑦)))
4230, 33, 41sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → (-∞ ∈ (-∞[,)𝑦) ↔ (-∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ -∞ ∧ -∞ < 𝑦)))
4340, 42mpbid 221 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → (-∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ -∞ ∧ -∞ < 𝑦))
4443simp3d 1068 . . . . . . . . . . . . . 14 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → -∞ < 𝑦)
45 breq2 4582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 = if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) → (-∞ < 0 ↔ -∞ < if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦)))
46 breq2 4582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) → (-∞ < 𝑦 ↔ -∞ < if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦)))
4745, 46ifboth 4074 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-∞ < 0 ∧ -∞ < 𝑦) → -∞ < if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦))
4837, 44, 47sylancr 694 . . . . . . . . . . . . 13 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → -∞ < if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦))
4932a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → 0 ∈ ℝ*)
50 xrmin1 11844 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) ≤ 0)
5132, 33, 50sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . 14 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) ≤ 0)
52 0re 9897 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ
53 ltpnf 11794 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 ∈ ℝ → 0 < +∞)
5452, 53mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . 14 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → 0 < +∞)
5535, 49, 36, 51, 54xrlelttrd 11829 . . . . . . . . . . . . 13 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) < +∞)
56 xrre2 11837 . . . . . . . . . . . . 13 (((-∞ ∈ ℝ* ∧ if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) ∧ if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) < +∞)) → if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) ∈ ℝ)
5731, 35, 36, 48, 55, 56syl32anc 1326 . . . . . . . . . . . 12 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) ∈ ℝ)
58 xrmin2 11845 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) ≤ 𝑦)
5932, 33, 58sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . 14 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) ≤ 𝑦)
60 df-ico 12011 . . . . . . . . . . . . . . 15 [,) = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑐 ∈ ℝ* ∣ (𝑎𝑐𝑐 < 𝑏)})
61 xrltletr 11826 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑥 < if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) ∧ if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) ≤ 𝑦) → 𝑥 < 𝑦))
6260, 60, 61ixxss2 12024 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) ≤ 𝑦) → (-∞[,)if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦)) ⊆ (-∞[,)𝑦))
6333, 59, 62syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . 13 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → (-∞[,)if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦)) ⊆ (-∞[,)𝑦))
64 simplr 788 . . . . . . . . . . . . . 14 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → 𝑢𝐴)
6539, 64eqsstr3d 3603 . . . . . . . . . . . . 13 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → (-∞[,)𝑦) ⊆ 𝐴)
6663, 65sstrd 3578 . . . . . . . . . . . 12 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → (-∞[,)if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦)) ⊆ 𝐴)
67 oveq2 6535 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) → (-∞[,)𝑥) = (-∞[,)if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦)))
6867sseq1d 3595 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) → ((-∞[,)𝑥) ⊆ 𝐴 ↔ (-∞[,)if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦)) ⊆ 𝐴))
6968rspcev 3282 . . . . . . . . . . . 12 ((if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) ∈ ℝ ∧ (-∞[,)if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦)) ⊆ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝐴)
7057, 66, 69syl2anc 691 . . . . . . . . . . 11 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝐴)
7170rexlimdvaa 3014 . . . . . . . . . 10 ((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) → (∃𝑦 ∈ ℝ* 𝑢 = (-∞[,)𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝐴))
7271com12 32 . . . . . . . . 9 (∃𝑦 ∈ ℝ* 𝑢 = (-∞[,)𝑦) → ((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝐴))
7329, 72sylbi 206 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦)) → ((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝐴))
7426, 73jaoi 393 . . . . . . 7 ((𝑢 ∈ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) ∨ 𝑢 ∈ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦))) → ((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝐴))
758, 74sylbi 206 . . . . . 6 (𝑢 ∈ (ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) ∪ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦))) → ((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝐴))
76 mnfnre 9939 . . . . . . . . . 10 -∞ ∉ ℝ
7776neli 2885 . . . . . . . . 9 ¬ -∞ ∈ ℝ
78 elssuni 4398 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 ∈ ran (,) → 𝑢 ran (,))
79 unirnioo 12103 . . . . . . . . . . 11 ℝ = ran (,)
8078, 79syl6sseqr 3615 . . . . . . . . . 10 (𝑢 ∈ ran (,) → 𝑢 ⊆ ℝ)
8180sseld 3567 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∈ ran (,) → (-∞ ∈ 𝑢 → -∞ ∈ ℝ))
8277, 81mtoi 189 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ ran (,) → ¬ -∞ ∈ 𝑢)
8382pm2.21d 117 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ ran (,) → (-∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑥 ∈ ℝ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝐴))
8483adantrd 483 . . . . . 6 (𝑢 ∈ ran (,) → ((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝐴))
8575, 84jaoi 393 . . . . 5 ((𝑢 ∈ (ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) ∪ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦))) ∨ 𝑢 ∈ ran (,)) → ((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝐴))
867, 85sylbi 206 . . . 4 (𝑢 ∈ ((ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) ∪ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦))) ∪ ran (,)) → ((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝐴))
8786rexlimiv 3009 . . 3 (∃𝑢 ∈ ((ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) ∪ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦))) ∪ ran (,))(-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝐴)
886, 87syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ (topGen‘((ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) ∪ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦))) ∪ ran (,))) ∧ -∞ ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝐴)
895, 88sylanb 488 1 ((𝐴 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ -∞ ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wo 382  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wrex 2897  Vcvv 3173  cun 3538  wss 3540  ifcif 4036   cuni 4367   class class class wbr 4578  cmpt 4638  ran crn 5029  cfv 5790  (class class class)co 6527  cr 9792  0cc0 9793  +∞cpnf 9928  -∞cmnf 9929  *cxr 9930   < clt 9931  cle 9932  (,)cioo 12005  (,]cioc 12006  [,)cico 12007  topGenctg 15870  ordTopcordt 15931
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4368  df-int 4406  df-iun 4452  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-tr 4676  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-oadd 7429  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-fi 8178  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-ioo 12009  df-ioc 12010  df-ico 12011  df-icc 12012  df-topgen 15876  df-ordt 15933  df-ps 16972  df-tsr 16973  df-top 20469  df-bases 20470
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator