MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mod2xnegi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mod2xnegi 15699
Description: Version of mod2xi 15697 with a negative mod value. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mod2xnegi.1 𝐴 ∈ ℕ
mod2xnegi.2 𝐵 ∈ ℕ0
mod2xnegi.3 𝐷 ∈ ℤ
mod2xnegi.4 𝐾 ∈ ℕ
mod2xnegi.5 𝑀 ∈ ℕ0
mod2xnegi.6 𝐿 ∈ ℕ0
mod2xnegi.10 ((𝐴𝐵) mod 𝑁) = (𝐿 mod 𝑁)
mod2xnegi.7 (2 · 𝐵) = 𝐸
mod2xnegi.8 (𝐿 + 𝐾) = 𝑁
mod2xnegi.9 ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀) = (𝐾 · 𝐾)
Assertion
Ref Expression
mod2xnegi ((𝐴𝐸) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)

Proof of Theorem mod2xnegi
StepHypRef Expression
1 mod2xnegi.8 . . 3 (𝐿 + 𝐾) = 𝑁
2 mod2xnegi.6 . . . 4 𝐿 ∈ ℕ0
3 mod2xnegi.4 . . . 4 𝐾 ∈ ℕ
4 nn0nnaddcl 11268 . . . 4 ((𝐿 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) → (𝐿 + 𝐾) ∈ ℕ)
52, 3, 4mp2an 707 . . 3 (𝐿 + 𝐾) ∈ ℕ
61, 5eqeltrri 2695 . 2 𝑁 ∈ ℕ
7 mod2xnegi.1 . 2 𝐴 ∈ ℕ
8 mod2xnegi.2 . 2 𝐵 ∈ ℕ0
96nnzi 11345 . . . 4 𝑁 ∈ ℤ
10 mod2xnegi.3 . . . 4 𝐷 ∈ ℤ
11 zaddcl 11361 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝐷) ∈ ℤ)
129, 10, 11mp2an 707 . . 3 (𝑁 + 𝐷) ∈ ℤ
133nnnn0i 11244 . . . . 5 𝐾 ∈ ℕ0
1413, 13nn0addcli 11274 . . . 4 (𝐾 + 𝐾) ∈ ℕ0
1514nn0zi 11346 . . 3 (𝐾 + 𝐾) ∈ ℤ
16 zsubcl 11363 . . 3 (((𝑁 + 𝐷) ∈ ℤ ∧ (𝐾 + 𝐾) ∈ ℤ) → ((𝑁 + 𝐷) − (𝐾 + 𝐾)) ∈ ℤ)
1712, 15, 16mp2an 707 . 2 ((𝑁 + 𝐷) − (𝐾 + 𝐾)) ∈ ℤ
18 mod2xnegi.5 . 2 𝑀 ∈ ℕ0
19 mod2xnegi.10 . 2 ((𝐴𝐵) mod 𝑁) = (𝐿 mod 𝑁)
20 mod2xnegi.7 . 2 (2 · 𝐵) = 𝐸
216nncni 10974 . . . . . 6 𝑁 ∈ ℂ
22 zcn 11326 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∈ ℂ)
2310, 22ax-mp 5 . . . . . 6 𝐷 ∈ ℂ
2421, 23addcli 9988 . . . . 5 (𝑁 + 𝐷) ∈ ℂ
253nncni 10974 . . . . . 6 𝐾 ∈ ℂ
2625, 25addcli 9988 . . . . 5 (𝐾 + 𝐾) ∈ ℂ
2724, 26, 21subdiri 10424 . . . 4 (((𝑁 + 𝐷) − (𝐾 + 𝐾)) · 𝑁) = (((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) − ((𝐾 + 𝐾) · 𝑁))
2827oveq1i 6614 . . 3 ((((𝑁 + 𝐷) − (𝐾 + 𝐾)) · 𝑁) + 𝑀) = ((((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) − ((𝐾 + 𝐾) · 𝑁)) + 𝑀)
2924, 21mulcli 9989 . . . 4 ((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) ∈ ℂ
3018nn0cni 11248 . . . 4 𝑀 ∈ ℂ
3126, 21mulcli 9989 . . . 4 ((𝐾 + 𝐾) · 𝑁) ∈ ℂ
3229, 30, 31addsubi 10317 . . 3 ((((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) + 𝑀) − ((𝐾 + 𝐾) · 𝑁)) = ((((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) − ((𝐾 + 𝐾) · 𝑁)) + 𝑀)
33 mod2xnegi.9 . . . . . . 7 ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀) = (𝐾 · 𝐾)
3433oveq2i 6615 . . . . . 6 ((𝑁 · 𝑁) + ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀)) = ((𝑁 · 𝑁) + (𝐾 · 𝐾))
3521, 25, 25adddii 9994 . . . . . 6 (𝑁 · (𝐾 + 𝐾)) = ((𝑁 · 𝐾) + (𝑁 · 𝐾))
3634, 35oveq12i 6616 . . . . 5 (((𝑁 · 𝑁) + ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀)) − (𝑁 · (𝐾 + 𝐾))) = (((𝑁 · 𝑁) + (𝐾 · 𝐾)) − ((𝑁 · 𝐾) + (𝑁 · 𝐾)))
3721, 23, 21adddiri 9995 . . . . . . . 8 ((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) = ((𝑁 · 𝑁) + (𝐷 · 𝑁))
3837oveq1i 6614 . . . . . . 7 (((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) + 𝑀) = (((𝑁 · 𝑁) + (𝐷 · 𝑁)) + 𝑀)
3921, 21mulcli 9989 . . . . . . . 8 (𝑁 · 𝑁) ∈ ℂ
4023, 21mulcli 9989 . . . . . . . 8 (𝐷 · 𝑁) ∈ ℂ
4139, 40, 30addassi 9992 . . . . . . 7 (((𝑁 · 𝑁) + (𝐷 · 𝑁)) + 𝑀) = ((𝑁 · 𝑁) + ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀))
4238, 41eqtr2i 2644 . . . . . 6 ((𝑁 · 𝑁) + ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀)) = (((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) + 𝑀)
4321, 26mulcomi 9990 . . . . . 6 (𝑁 · (𝐾 + 𝐾)) = ((𝐾 + 𝐾) · 𝑁)
4442, 43oveq12i 6616 . . . . 5 (((𝑁 · 𝑁) + ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀)) − (𝑁 · (𝐾 + 𝐾))) = ((((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) + 𝑀) − ((𝐾 + 𝐾) · 𝑁))
4536, 44eqtr3i 2645 . . . 4 (((𝑁 · 𝑁) + (𝐾 · 𝐾)) − ((𝑁 · 𝐾) + (𝑁 · 𝐾))) = ((((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) + 𝑀) − ((𝐾 + 𝐾) · 𝑁))
46 mulsub 10417 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ)) → ((𝑁𝐾) · (𝑁𝐾)) = (((𝑁 · 𝑁) + (𝐾 · 𝐾)) − ((𝑁 · 𝐾) + (𝑁 · 𝐾))))
4721, 25, 21, 25, 46mp4an 708 . . . . 5 ((𝑁𝐾) · (𝑁𝐾)) = (((𝑁 · 𝑁) + (𝐾 · 𝐾)) − ((𝑁 · 𝐾) + (𝑁 · 𝐾)))
482nn0cni 11248 . . . . . . . 8 𝐿 ∈ ℂ
4921, 25, 48subadd2i 10313 . . . . . . 7 ((𝑁𝐾) = 𝐿 ↔ (𝐿 + 𝐾) = 𝑁)
501, 49mpbir 221 . . . . . 6 (𝑁𝐾) = 𝐿
5150, 50oveq12i 6616 . . . . 5 ((𝑁𝐾) · (𝑁𝐾)) = (𝐿 · 𝐿)
5247, 51eqtr3i 2645 . . . 4 (((𝑁 · 𝑁) + (𝐾 · 𝐾)) − ((𝑁 · 𝐾) + (𝑁 · 𝐾))) = (𝐿 · 𝐿)
5345, 52eqtr3i 2645 . . 3 ((((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) + 𝑀) − ((𝐾 + 𝐾) · 𝑁)) = (𝐿 · 𝐿)
5428, 32, 533eqtr2i 2649 . 2 ((((𝑁 + 𝐷) − (𝐾 + 𝐾)) · 𝑁) + 𝑀) = (𝐿 · 𝐿)
556, 7, 8, 17, 2, 18, 19, 20, 54mod2xi 15697 1 ((𝐴𝐸) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1480  wcel 1987  (class class class)co 6604  cc 9878   + caddc 9883   · cmul 9885  cmin 10210  cn 10964  2c2 11014  0cn0 11236  cz 11321   mod cmo 12608  cexp 12800
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801
This theorem is referenced by:  1259lem4  15765  2503lem2  15769
  Copyright terms: Public domain W3C validator