MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modcyc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem modcyc2 12646
Description: The modulo operation is periodic. (Contributed by NM, 12-Nov-2008.)
Assertion
Ref Expression
modcyc2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 − (𝐵 · 𝑁)) mod 𝐵) = (𝐴 mod 𝐵))

Proof of Theorem modcyc2
StepHypRef Expression
1 recn 9970 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2 rpcn 11785 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ)
3 zcn 11326 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
4 mulneg1 10410 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝑁 · 𝐵) = -(𝑁 · 𝐵))
54ancoms 469 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (-𝑁 · 𝐵) = -(𝑁 · 𝐵))
6 mulcom 9966 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝑁) = (𝑁 · 𝐵))
76negeqd 10219 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → -(𝐵 · 𝑁) = -(𝑁 · 𝐵))
85, 7eqtr4d 2658 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (-𝑁 · 𝐵) = -(𝐵 · 𝑁))
983adant1 1077 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (-𝑁 · 𝐵) = -(𝐵 · 𝑁))
109oveq2d 6620 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐴 + (-𝑁 · 𝐵)) = (𝐴 + -(𝐵 · 𝑁)))
11 mulcl 9964 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝑁) ∈ ℂ)
12 negsub 10273 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑁) ∈ ℂ) → (𝐴 + -(𝐵 · 𝑁)) = (𝐴 − (𝐵 · 𝑁)))
1311, 12sylan2 491 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ)) → (𝐴 + -(𝐵 · 𝑁)) = (𝐴 − (𝐵 · 𝑁)))
14133impb 1257 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐴 + -(𝐵 · 𝑁)) = (𝐴 − (𝐵 · 𝑁)))
1510, 14eqtr2d 2656 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐵 · 𝑁)) = (𝐴 + (-𝑁 · 𝐵)))
161, 2, 3, 15syl3an 1365 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 − (𝐵 · 𝑁)) = (𝐴 + (-𝑁 · 𝐵)))
1716oveq1d 6619 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 − (𝐵 · 𝑁)) mod 𝐵) = ((𝐴 + (-𝑁 · 𝐵)) mod 𝐵))
18 znegcl 11356 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
19 modcyc 12645 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 + (-𝑁 · 𝐵)) mod 𝐵) = (𝐴 mod 𝐵))
2018, 19syl3an3 1358 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 + (-𝑁 · 𝐵)) mod 𝐵) = (𝐴 mod 𝐵))
2117, 20eqtrd 2655 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 − (𝐵 · 𝑁)) mod 𝐵) = (𝐴 mod 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  (class class class)co 6604  cc 9878  cr 9879   + caddc 9883   · cmul 9885  cmin 10210  -cneg 10211  cz 11321  +crp 11776   mod cmo 12608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fl 12533  df-mod 12609
This theorem is referenced by:  modadd1  12647  modmul1  12663  2submod  12671  modsubdir  12679
  Copyright terms: Public domain W3C validator