MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  moddi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem moddi 12678
Description: Distribute multiplication over a modulo operation. (Contributed by NM, 11-Nov-2008.)
Assertion
Ref Expression
moddi ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 · (𝐵 mod 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) mod (𝐴 · 𝐶)))

Proof of Theorem moddi
StepHypRef Expression
1 rpcn 11785 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℂ)
213ad2ant1 1080 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
3 recn 9970 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
433ad2ant2 1081 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
5 rpre 11783 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ)
65adantl 482 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
7 refldivcl 12564 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐵 / 𝐶)) ∈ ℝ)
86, 7remulcld 10014 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))) ∈ ℝ)
98recnd 10012 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))) ∈ ℂ)
1093adant1 1077 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))) ∈ ℂ)
112, 4, 10subdid 10430 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 · (𝐵 − (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))))) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))))))
12 rpcnne0 11794 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ ℝ+ → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0))
13123ad2ant3 1082 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0))
14 rpcnne0 11794 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
15143ad2ant1 1080 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
16 divcan5 10671 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) / (𝐴 · 𝐶)) = (𝐵 / 𝐶))
174, 13, 15, 16syl3anc 1323 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 · 𝐵) / (𝐴 · 𝐶)) = (𝐵 / 𝐶))
1817fveq2d 6152 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (⌊‘((𝐴 · 𝐵) / (𝐴 · 𝐶))) = (⌊‘(𝐵 / 𝐶)))
1918oveq2d 6620 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 · 𝐶) · (⌊‘((𝐴 · 𝐵) / (𝐴 · 𝐶)))) = ((𝐴 · 𝐶) · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))))
20 rpcn 11785 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℂ)
21203ad2ant3 1082 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℂ)
22 rerpdivcl 11805 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℝ)
23 reflcl 12537 . . . . . . . . 9 ((𝐵 / 𝐶) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐵 / 𝐶)) ∈ ℝ)
2423recnd 10012 . . . . . . . 8 ((𝐵 / 𝐶) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐵 / 𝐶)) ∈ ℂ)
2522, 24syl 17 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐵 / 𝐶)) ∈ ℂ)
26253adant1 1077 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐵 / 𝐶)) ∈ ℂ)
272, 21, 26mulassd 10007 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 · 𝐶) · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))) = (𝐴 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶)))))
2819, 27eqtr2d 2656 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶)))) = ((𝐴 · 𝐶) · (⌊‘((𝐴 · 𝐵) / (𝐴 · 𝐶)))))
2928oveq2d 6620 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))))) = ((𝐴 · 𝐵) − ((𝐴 · 𝐶) · (⌊‘((𝐴 · 𝐵) / (𝐴 · 𝐶))))))
3011, 29eqtrd 2655 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 · (𝐵 − (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))))) = ((𝐴 · 𝐵) − ((𝐴 · 𝐶) · (⌊‘((𝐴 · 𝐵) / (𝐴 · 𝐶))))))
31 modval 12610 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 mod 𝐶) = (𝐵 − (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶)))))
32313adant1 1077 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 mod 𝐶) = (𝐵 − (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶)))))
3332oveq2d 6620 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 · (𝐵 mod 𝐶)) = (𝐴 · (𝐵 − (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))))))
34 rpre 11783 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
35 remulcl 9965 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
3634, 35sylan 488 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
37363adant3 1079 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
38 rpmulcl 11799 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ+)
39383adant2 1078 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ+)
40 modval 12610 . . 3 (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ+) → ((𝐴 · 𝐵) mod (𝐴 · 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − ((𝐴 · 𝐶) · (⌊‘((𝐴 · 𝐵) / (𝐴 · 𝐶))))))
4137, 39, 40syl2anc 692 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 · 𝐵) mod (𝐴 · 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − ((𝐴 · 𝐶) · (⌊‘((𝐴 · 𝐵) / (𝐴 · 𝐶))))))
4230, 33, 413eqtr4d 2665 1 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 · (𝐵 mod 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) mod (𝐴 · 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  cr 9879  0cc0 9880   · cmul 9885  cmin 10210   / cdiv 10628  +crp 11776  cfl 12531   mod cmo 12608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fl 12533  df-mod 12609
This theorem is referenced by:  dirkertrigeq  39622
  Copyright terms: Public domain W3C validator