MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  moddvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem moddvds 14922
Description: Two ways to say 𝐴𝐵 (mod 𝑁), see also definition in [ApostolNT] p. 106. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
moddvds ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴𝐵)))

Proof of Theorem moddvds
StepHypRef Expression
1 nnrp 11793 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
21adantr 481 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℝ+)
3 0mod 12648 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ+ → (0 mod 𝑁) = 0)
42, 3syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (0 mod 𝑁) = 0)
54eqeq2d 2631 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (((𝐴𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁) ↔ ((𝐴𝐵) mod 𝑁) = 0))
6 zre 11332 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
76ad2antrl 763 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
8 zre 11332 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
98ad2antll 764 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
109renegcld 10408 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → -𝐵 ∈ ℝ)
11 modadd1 12654 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁)) → ((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐵 + -𝐵) mod 𝑁))
12113expia 1264 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+)) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁) → ((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐵 + -𝐵) mod 𝑁)))
137, 9, 10, 2, 12syl22anc 1324 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁) → ((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐵 + -𝐵) mod 𝑁)))
147recnd 10019 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
159recnd 10019 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
1614, 15negsubd 10349 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴𝐵))
1716oveq1d 6625 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐴𝐵) mod 𝑁))
1815negidd 10333 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (𝐵 + -𝐵) = 0)
1918oveq1d 6625 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((𝐵 + -𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁))
2017, 19eqeq12d 2636 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐵 + -𝐵) mod 𝑁) ↔ ((𝐴𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁)))
2113, 20sylibd 229 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁) → ((𝐴𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁)))
227, 9resubcld 10409 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
23 0red 9992 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 0 ∈ ℝ)
24 modadd1 12654 . . . . . . 7 ((((𝐴𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ ((𝐴𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁)) → (((𝐴𝐵) + 𝐵) mod 𝑁) = ((0 + 𝐵) mod 𝑁))
25243expia 1264 . . . . . 6 ((((𝐴𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+)) → (((𝐴𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁) → (((𝐴𝐵) + 𝐵) mod 𝑁) = ((0 + 𝐵) mod 𝑁)))
2622, 23, 9, 2, 25syl22anc 1324 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (((𝐴𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁) → (((𝐴𝐵) + 𝐵) mod 𝑁) = ((0 + 𝐵) mod 𝑁)))
2714, 15npcand 10347 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((𝐴𝐵) + 𝐵) = 𝐴)
2827oveq1d 6625 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (((𝐴𝐵) + 𝐵) mod 𝑁) = (𝐴 mod 𝑁))
2915addid2d 10188 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (0 + 𝐵) = 𝐵)
3029oveq1d 6625 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((0 + 𝐵) mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁))
3128, 30eqeq12d 2636 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((((𝐴𝐵) + 𝐵) mod 𝑁) = ((0 + 𝐵) mod 𝑁) ↔ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁)))
3226, 31sylibd 229 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (((𝐴𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁) → (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁)))
3321, 32impbid 202 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁) ↔ ((𝐴𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁)))
34 zsubcl 11370 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)
35 dvdsval3 14918 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝐵) ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (𝐴𝐵) ↔ ((𝐴𝐵) mod 𝑁) = 0))
3634, 35sylan2 491 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (𝑁 ∥ (𝐴𝐵) ↔ ((𝐴𝐵) mod 𝑁) = 0))
375, 33, 363bitr4d 300 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴𝐵)))
38373impb 1257 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987   class class class wbr 4618  (class class class)co 6610  cr 9886  0cc0 9887   + caddc 9890  cmin 10217  -cneg 10218  cn 10971  cz 11328  +crp 11783   mod cmo 12615  cdvds 14914
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964  ax-pre-sup 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-sup 8299  df-inf 8300  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-div 10636  df-nn 10972  df-n0 11244  df-z 11329  df-uz 11639  df-rp 11784  df-fl 12540  df-mod 12616  df-dvds 14915
This theorem is referenced by:  summodnegmod  14943  modmulconst  14944  addmodlteqALT  14978  dvdsmod  14981  sadadd3  15114  sadaddlem  15119  congr  15309  cncongr1  15312  cncongr2  15313  crth  15414  eulerthlem2  15418  prmdiv  15421  prmdiveq  15422  odzcllem  15428  odzdvds  15431  odzphi  15432  modprm1div  15433  pockthlem  15540  4sqlem11  15590  4sqlem12  15591  mndodcong  17889  dfod2  17909  sylow3lem6  17975  znf1o  19828  wilthlem1  24707  wilthlem2  24708  wilthlem3  24709  wilthimp  24711  ppiub  24842  lgslem1  24935  lgsmod  24961  lgsdirprm  24969  lgsqrlem1  24984  lgsqrlem2  24985  lgsqr  24989  lgsqrmod  24990  lgsqrmodndvds  24991  lgsdchrval  24992  lgseisenlem2  25014  lgseisenlem3  25015  lgseisenlem4  25016  m1lgs  25026  sfprmdvdsmersenne  40840
  Copyright terms: Public domain W3C validator