Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modfsummod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem modfsummod 14453
 Description: A finite sum modulo a positive integer equals the finite sum of their summands modulo the positive integer, modulo the positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
modfsummod.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
modfsummod.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
modfsummod.2 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
modfsummod (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem modfsummod
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 modfsummod.2 . 2 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
2 modfsummod.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
3 modfsummod.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
4 raleq 3127 . . . . . 6 (𝑥 = ∅ → (∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ ℤ ↔ ∀𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ ℤ))
54anbi1d 740 . . . . 5 (𝑥 = ∅ → ((∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ↔ (∀𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)))
6 sumeq1 14353 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → Σ𝑘𝑥 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
76oveq1d 6619 . . . . . 6 (𝑥 = ∅ → (Σ𝑘𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑁))
8 sumeq1 14353 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → Σ𝑘𝑥 (𝐵 mod 𝑁) = Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁))
98oveq1d 6619 . . . . . 6 (𝑥 = ∅ → (Σ𝑘𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
107, 9eqeq12d 2636 . . . . 5 (𝑥 = ∅ → ((Σ𝑘𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) ↔ (Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
115, 10imbi12d 334 . . . 4 (𝑥 = ∅ → (((∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) ↔ ((∀𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
12 raleq 3127 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ ℤ ↔ ∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ))
1312anbi1d 740 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → ((∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ↔ (∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)))
14 sumeq1 14353 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → Σ𝑘𝑥 𝐵 = Σ𝑘𝑦 𝐵)
1514oveq1d 6619 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (Σ𝑘𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑁))
16 sumeq1 14353 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → Σ𝑘𝑥 (𝐵 mod 𝑁) = Σ𝑘𝑦 (𝐵 mod 𝑁))
1716oveq1d 6619 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (Σ𝑘𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
1815, 17eqeq12d 2636 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → ((Σ𝑘𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) ↔ (Σ𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
1913, 18imbi12d 334 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (((∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) ↔ ((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
20 raleq 3127 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ ℤ ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ))
2120anbi1d 740 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ↔ (∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)))
22 sumeq1 14353 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → Σ𝑘𝑥 𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵)
2322oveq1d 6619 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (Σ𝑘𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁))
24 sumeq1 14353 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → Σ𝑘𝑥 (𝐵 mod 𝑁) = Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁))
2524oveq1d 6619 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (Σ𝑘𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
2623, 25eqeq12d 2636 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((Σ𝑘𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) ↔ (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
2721, 26imbi12d 334 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (((∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) ↔ ((∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
28 raleq 3127 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ ℤ ↔ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ))
2928anbi1d 740 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → ((∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ↔ (∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)))
30 sumeq1 14353 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → Σ𝑘𝑥 𝐵 = Σ𝑘𝐴 𝐵)
3130oveq1d 6619 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (Σ𝑘𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁))
32 sumeq1 14353 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → Σ𝑘𝑥 (𝐵 mod 𝑁) = Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁))
3332oveq1d 6619 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (Σ𝑘𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
3431, 33eqeq12d 2636 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → ((Σ𝑘𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) ↔ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
3529, 34imbi12d 334 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (((∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) ↔ ((∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
36 sum0 14385 . . . . . . . 8 Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁) = 0
3736a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁) = 0)
3837oveq1d 6619 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁))
39 sum0 14385 . . . . . . 7 Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 0
4039oveq1i 6614 . . . . . 6 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑁) = (0 mod 𝑁)
4138, 40syl6reqr 2674 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
4241adantl 482 . . . 4 ((∀𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
43 simpll 789 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ Fin ∧ (∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) → 𝑦 ∈ Fin)
44 simplrr 800 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ Fin ∧ (∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
45 ralun 3773 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) → ∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)
4645ex 450 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ → (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ → ∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ))
4746ad2antrl 763 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ Fin ∧ (∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ → ∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ))
4847imp 445 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ Fin ∧ (∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) → ∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)
49 modfsummods 14452 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → ((Σ𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
5043, 44, 48, 49syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ Fin ∧ (∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) → ((Σ𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
5150ex 450 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ Fin ∧ (∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ → ((Σ𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
5251com23 86 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ Fin ∧ (∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((Σ𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
5352ex 450 . . . . . 6 (𝑦 ∈ Fin → ((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((Σ𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))))
5453a2d 29 . . . . 5 (𝑦 ∈ Fin → (((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → ((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))))
55 ralunb 3772 . . . . . . . 8 (∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ↔ (∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ))
5655anbi1i 730 . . . . . . 7 ((∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ↔ ((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
5756imbi1i 339 . . . . . 6 (((∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) ↔ (((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
58 an32 838 . . . . . . 7 (((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ↔ ((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ))
5958imbi1i 339 . . . . . 6 ((((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) ↔ (((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
60 impexp 462 . . . . . 6 ((((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) ↔ ((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
6157, 59, 603bitri 286 . . . . 5 (((∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) ↔ ((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
6254, 61syl6ibr 242 . . . 4 (𝑦 ∈ Fin → (((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → ((∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
6311, 19, 27, 35, 42, 62findcard2 8144 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → ((∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
643, 63syl 17 . 2 (𝜑 → ((∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
651, 2, 64mp2and 714 1 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∀wral 2907   ∪ cun 3553  ∅c0 3891  {csn 4148  (class class class)co 6604  Fincfn 7899  0cc0 9880  ℕcn 10964  ℤcz 11321   mod cmo 12608  Σcsu 14350 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-sum 14351 This theorem is referenced by:  numclwwlk6  27102
 Copyright terms: Public domain W3C validator