MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem modid 12735
Description: Identity law for modulo. (Contributed by NM, 29-Dec-2008.)
Assertion
Ref Expression
modid (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (𝐴 mod 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem modid
StepHypRef Expression
1 modval 12710 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
21adantr 480 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
3 rerpdivcl 11899 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
43adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
54recnd 10106 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
6 addid2 10257 . . . . . . . . 9 ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ → (0 + (𝐴 / 𝐵)) = (𝐴 / 𝐵))
76fveq2d 6233 . . . . . . . 8 ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ → (⌊‘(0 + (𝐴 / 𝐵))) = (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))
85, 7syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (⌊‘(0 + (𝐴 / 𝐵))) = (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))
9 rpregt0 11884 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ+ → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
10 divge0 10930 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))
119, 10sylan2 490 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))
1211an32s 863 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))
1312adantrr 753 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))
14 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
15 rpcn 11879 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ)
1615mulid1d 10095 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ ℝ+ → (𝐵 · 1) = 𝐵)
1716adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) → (𝐵 · 1) = 𝐵)
1814, 17breqtrrd 4713 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < (𝐵 · 1))
1918ad2ant2l 797 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → 𝐴 < (𝐵 · 1))
20 simpll 805 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
219ad2antlr 763 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
22 1re 10077 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
23 ltdivmul 10936 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 / 𝐵) < 1 ↔ 𝐴 < (𝐵 · 1)))
2422, 23mp3an2 1452 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 / 𝐵) < 1 ↔ 𝐴 < (𝐵 · 1)))
2520, 21, 24syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → ((𝐴 / 𝐵) < 1 ↔ 𝐴 < (𝐵 · 1)))
2619, 25mpbird 247 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (𝐴 / 𝐵) < 1)
27 0z 11426 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℤ
28 flbi2 12658 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℤ ∧ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ) → ((⌊‘(0 + (𝐴 / 𝐵))) = 0 ↔ (0 ≤ (𝐴 / 𝐵) ∧ (𝐴 / 𝐵) < 1)))
2927, 4, 28sylancr 696 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → ((⌊‘(0 + (𝐴 / 𝐵))) = 0 ↔ (0 ≤ (𝐴 / 𝐵) ∧ (𝐴 / 𝐵) < 1)))
3013, 26, 29mpbir2and 977 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (⌊‘(0 + (𝐴 / 𝐵))) = 0)
318, 30eqtr3d 2687 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = 0)
3231oveq2d 6706 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) = (𝐵 · 0))
3315mul01d 10273 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ+ → (𝐵 · 0) = 0)
3433ad2antlr 763 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (𝐵 · 0) = 0)
3532, 34eqtrd 2685 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) = 0)
3635oveq2d 6706 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))) = (𝐴 − 0))
37 recn 10064 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
3837subid1d 10419 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 0) = 𝐴)
3938ad2antrr 762 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (𝐴 − 0) = 𝐴)
4036, 39eqtrd 2685 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))) = 𝐴)
412, 40eqtrd 2685 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (𝐴 mod 𝐵) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304   / cdiv 10722  cz 11415  +crp 11870  cfl 12631   mod cmo 12708
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fl 12633  df-mod 12709
This theorem is referenced by:  modid2  12737  0mod  12741  1mod  12742  modabs  12743  muladdmodid  12750  m1modnnsub1  12756  modltm1p1mod  12762  2submod  12771  modifeq2int  12772  modaddmodlo  12774  modsubdir  12779  modsumfzodifsn  12783  digit1  13038  cshwidxm1  13599  bitsinv1  15211  sadaddlem  15235  sadasslem  15239  sadeq  15241  crth  15530  eulerthlem2  15534  prmdiveq  15538  modprm0  15557  4sqlem12  15707  dfod2  18027  znf1o  19948  wilthlem1  24839  ppiub  24974  lgslem1  25067  lgsdir2lem1  25095  lgsdirprm  25101  lgsqrlem2  25117  lgseisenlem1  25145  lgseisenlem2  25146  lgseisen  25149  m1lgs  25158  2lgslem1a1  25159  2lgslem4  25176  2sqlem11  25199  sqwvfoura  40763  sqwvfourb  40764  fourierswlem  40765  fouriersw  40766  m1modmmod  42641  nnpw2pmod  42702
  Copyright terms: Public domain W3C validator