MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modirr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem modirr 12856
Description: A number modulo an irrational multiple of it is nonzero. (Contributed by NM, 11-Nov-2008.)
Assertion
Ref Expression
modirr ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 / 𝐵) ∈ (ℝ ∖ ℚ)) → (𝐴 mod 𝐵) ≠ 0)

Proof of Theorem modirr
StepHypRef Expression
1 eldif 3690 . . 3 ((𝐴 / 𝐵) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ↔ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ ¬ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ))
2 modval 12785 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
32eqeq1d 2726 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))) = 0))
4 recn 10139 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
54adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
6 rpre 11953 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ)
76adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
8 refldivcl 12739 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℝ)
97, 8remulcld 10183 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) ∈ ℝ)
109recnd 10181 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) ∈ ℂ)
115, 10subeq0ad 10515 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))) = 0 ↔ 𝐴 = (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
12 eqcom 2731 . . . . . . . 8 ((𝐴 / 𝐵) = (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ↔ (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = (𝐴 / 𝐵))
13 rerpdivcl 11975 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
14 reflcl 12712 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℝ)
1514recnd 10181 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℂ)
1613, 15syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℂ)
17 rpcnne0 11964 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ+ → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
1817adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
19 divmul2 10802 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 / 𝐵) = (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ↔ 𝐴 = (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
205, 16, 18, 19syl3anc 1439 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 / 𝐵) = (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ↔ 𝐴 = (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
2112, 20syl5rbbr 275 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 = (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) ↔ (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = (𝐴 / 𝐵)))
223, 11, 213bitrd 294 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐵) = 0 ↔ (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = (𝐴 / 𝐵)))
23 flidz 12726 . . . . . . . 8 ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = (𝐴 / 𝐵) ↔ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ))
24 zq 11908 . . . . . . . 8 ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ)
2523, 24syl6bi 243 . . . . . . 7 ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = (𝐴 / 𝐵) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ))
2613, 25syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = (𝐴 / 𝐵) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ))
2722, 26sylbid 230 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐵) = 0 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ))
2827necon3bd 2910 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (¬ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ → (𝐴 mod 𝐵) ≠ 0))
2928adantld 484 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ ¬ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ) → (𝐴 mod 𝐵) ≠ 0))
301, 29syl5bi 232 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 / 𝐵) ∈ (ℝ ∖ ℚ) → (𝐴 mod 𝐵) ≠ 0))
31303impia 1109 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 / 𝐵) ∈ (ℝ ∖ ℚ)) → (𝐴 mod 𝐵) ≠ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1596  wcel 2103  wne 2896  cdif 3677  cfv 6001  (class class class)co 6765  cc 10047  cr 10048  0cc0 10049   · cmul 10054  cmin 10379   / cdiv 10797  cz 11490  cq 11902  +crp 11946  cfl 12706   mod cmo 12783
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-sup 8464  df-inf 8465  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-n0 11406  df-z 11491  df-uz 11801  df-q 11903  df-rp 11947  df-fl 12708  df-mod 12784
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator