MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modirr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem modirr 12678
Description: A number modulo an irrational multiple of it is nonzero. (Contributed by NM, 11-Nov-2008.)
Assertion
Ref Expression
modirr ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 / 𝐵) ∈ (ℝ ∖ ℚ)) → (𝐴 mod 𝐵) ≠ 0)

Proof of Theorem modirr
StepHypRef Expression
1 eldif 3570 . . 3 ((𝐴 / 𝐵) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ↔ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ ¬ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ))
2 modval 12607 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
32eqeq1d 2628 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))) = 0))
4 recn 9971 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
54adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
6 rpre 11783 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ)
76adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
8 refldivcl 12561 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℝ)
97, 8remulcld 10015 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) ∈ ℝ)
109recnd 10013 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) ∈ ℂ)
115, 10subeq0ad 10347 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))) = 0 ↔ 𝐴 = (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
12 eqcom 2633 . . . . . . . 8 ((𝐴 / 𝐵) = (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ↔ (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = (𝐴 / 𝐵))
13 rerpdivcl 11805 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
14 reflcl 12534 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℝ)
1514recnd 10013 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℂ)
1613, 15syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℂ)
17 rpcnne0 11794 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ+ → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
1817adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
19 divmul2 10634 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 / 𝐵) = (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ↔ 𝐴 = (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
205, 16, 18, 19syl3anc 1323 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 / 𝐵) = (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ↔ 𝐴 = (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
2112, 20syl5rbbr 275 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 = (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) ↔ (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = (𝐴 / 𝐵)))
223, 11, 213bitrd 294 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐵) = 0 ↔ (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = (𝐴 / 𝐵)))
23 flidz 12548 . . . . . . . 8 ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = (𝐴 / 𝐵) ↔ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ))
24 zq 11738 . . . . . . . 8 ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ)
2523, 24syl6bi 243 . . . . . . 7 ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = (𝐴 / 𝐵) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ))
2613, 25syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = (𝐴 / 𝐵) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ))
2722, 26sylbid 230 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐵) = 0 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ))
2827necon3bd 2810 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (¬ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ → (𝐴 mod 𝐵) ≠ 0))
2928adantld 483 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ ¬ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ) → (𝐴 mod 𝐵) ≠ 0))
301, 29syl5bi 232 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 / 𝐵) ∈ (ℝ ∖ ℚ) → (𝐴 mod 𝐵) ≠ 0))
31303impia 1258 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 / 𝐵) ∈ (ℝ ∖ ℚ)) → (𝐴 mod 𝐵) ≠ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796  cdif 3557  cfv 5850  (class class class)co 6605  cc 9879  cr 9880  0cc0 9881   · cmul 9886  cmin 10211   / cdiv 10629  cz 11322  cq 11732  +crp 11776  cfl 12528   mod cmo 12605
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-sup 8293  df-inf 8294  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-fl 12530  df-mod 12606
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator