MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modmul1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem modmul1 12660
Description: Multiplication property of the modulo operation. Note that the multiplier 𝐶 must be an integer. (Contributed by NM, 12-Nov-2008.)
Assertion
Ref Expression
modmul1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐷))

Proof of Theorem modmul1
StepHypRef Expression
1 modval 12607 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐷) = (𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))))
2 modval 12607 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐵 mod 𝐷) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))))
31, 2eqeqan12d 2642 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) ↔ (𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))))
43anandirs 873 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) ↔ (𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))))
54adantrl 751 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) ↔ (𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))))
6 oveq1 6612 . . . . 5 ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) → ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) · 𝐶) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) · 𝐶))
75, 6syl6bi 243 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) → ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) · 𝐶) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) · 𝐶)))
8 rpcn 11785 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ ℝ+𝐷 ∈ ℂ)
98ad2antll 764 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → 𝐷 ∈ ℂ)
10 zcn 11327 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℂ)
1110ad2antrl 763 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → 𝐶 ∈ ℂ)
12 rerpdivcl 11805 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐷) ∈ ℝ)
1312flcld 12536 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝐷)) ∈ ℤ)
1413zcnd 11427 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝐷)) ∈ ℂ)
1514adantrl 751 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (⌊‘(𝐴 / 𝐷)) ∈ ℂ)
169, 11, 15mulassd 10008 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐷 · 𝐶) · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) = (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))))
179, 11, 15mul32d 10191 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐷 · 𝐶) · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) = ((𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) · 𝐶))
1816, 17eqtr3d 2662 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = ((𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) · 𝐶))
1918oveq2d 6621 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) = ((𝐴 · 𝐶) − ((𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) · 𝐶)))
20 recn 9971 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2120adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → 𝐴 ∈ ℂ)
228adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℂ)
2322, 14mulcld 10005 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) ∈ ℂ)
2423adantrl 751 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) ∈ ℂ)
2521, 24, 11subdird 10432 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − ((𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) · 𝐶)))
2619, 25eqtr4d 2663 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) = ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) · 𝐶))
2726adantlr 750 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) = ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) · 𝐶))
288ad2antll 764 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → 𝐷 ∈ ℂ)
2910ad2antrl 763 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → 𝐶 ∈ ℂ)
30 rerpdivcl 11805 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐵 / 𝐷) ∈ ℝ)
3130flcld 12536 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐵 / 𝐷)) ∈ ℤ)
3231zcnd 11427 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐵 / 𝐷)) ∈ ℂ)
3332adantrl 751 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (⌊‘(𝐵 / 𝐷)) ∈ ℂ)
3428, 29, 33mulassd 10008 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐷 · 𝐶) · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) = (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))))
3528, 29, 33mul32d 10191 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐷 · 𝐶) · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) = ((𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) · 𝐶))
3634, 35eqtr3d 2662 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) = ((𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) · 𝐶))
3736oveq2d 6621 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) = ((𝐵 · 𝐶) − ((𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) · 𝐶)))
38 recn 9971 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
3938adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → 𝐵 ∈ ℂ)
408adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℂ)
4140, 32mulcld 10005 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) ∈ ℂ)
4241adantrl 751 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) ∈ ℂ)
4339, 42, 29subdird 10432 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) · 𝐶) = ((𝐵 · 𝐶) − ((𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) · 𝐶)))
4437, 43eqtr4d 2663 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) · 𝐶))
4544adantll 749 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) · 𝐶))
4627, 45eqeq12d 2641 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) = ((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) ↔ ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) · 𝐶) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) · 𝐶)))
477, 46sylibrd 249 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) → ((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) = ((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))))))
48 oveq1 6612 . . . 4 (((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) = ((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) mod 𝐷) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) mod 𝐷))
49 zre 11326 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℝ)
50 remulcl 9966 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
5149, 50sylan2 491 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
5251adantrr 752 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
53 simprr 795 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → 𝐷 ∈ ℝ+)
54 simprl 793 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → 𝐶 ∈ ℤ)
5513adantrl 751 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (⌊‘(𝐴 / 𝐷)) ∈ ℤ)
5654, 55zmulcld 11432 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) ∈ ℤ)
57 modcyc2 12643 . . . . . . 7 (((𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) ∈ ℤ) → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) mod 𝐷) = ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐷))
5852, 53, 56, 57syl3anc 1323 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) mod 𝐷) = ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐷))
5958adantlr 750 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) mod 𝐷) = ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐷))
60 remulcl 9966 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
6149, 60sylan2 491 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
6261adantrr 752 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
63 simprr 795 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → 𝐷 ∈ ℝ+)
64 simprl 793 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → 𝐶 ∈ ℤ)
6531adantrl 751 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (⌊‘(𝐵 / 𝐷)) ∈ ℤ)
6664, 65zmulcld 11432 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) ∈ ℤ)
67 modcyc2 12643 . . . . . . 7 (((𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) ∈ ℤ) → (((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) mod 𝐷) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐷))
6862, 63, 66, 67syl3anc 1323 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) mod 𝐷) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐷))
6968adantll 749 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) mod 𝐷) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐷))
7059, 69eqeq12d 2641 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) mod 𝐷) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) mod 𝐷) ↔ ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐷)))
7148, 70syl5ib 234 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) = ((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐷)))
7247, 71syld 47 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐷)))
73723impia 1258 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  cfv 5850  (class class class)co 6605  cc 9879  cr 9880   · cmul 9886  cmin 10211   / cdiv 10629  cz 11322  +crp 11776  cfl 12528   mod cmo 12605
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-sup 8293  df-inf 8294  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fl 12530  df-mod 12606
This theorem is referenced by:  modmul12d  12661  modnegd  12662  modmulmod  12672  eulerthlem2  15406  fermltl  15408  odzdvds  15419  wilthlem2  24690  lgsdir2lem4  24948  lgsdirprm  24951  gausslemma2d  24994  pellexlem6  36864
  Copyright terms: Public domain W3C validator