Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modmuladdnn0 Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: Implication of a decomposition of a nonnegative integer into a multiple of a modulus and a remainder. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
modmuladdnn0 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑀

Proof of Theorem modmuladdnn0
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 477 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℤ)
21adantr 481 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)) → 𝑖 ∈ ℤ)
3 nn0cn 11253 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℂ)
43adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
54ad2antrr 761 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
6 nn0re 11252 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℝ)
7 modcl 12619 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℝ)
86, 7sylan 488 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℝ)
98recnd 10019 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℂ)
109adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℂ)
11 eleq1 2686 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ((𝐴 mod 𝑀) ∈ ℂ ↔ 𝐵 ∈ ℂ))
1211adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → ((𝐴 mod 𝑀) ∈ ℂ ↔ 𝐵 ∈ ℂ))
1310, 12mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
1413adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
15 zcn 11333 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ ℤ → 𝑖 ∈ ℂ)
1615adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℂ)
17 rpcn 11792 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℝ+𝑀 ∈ ℂ)
1817adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℂ)
1918ad2antrr 761 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
2016, 19mulcld 10011 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑖 · 𝑀) ∈ ℂ)
215, 14, 20subadd2d 10362 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝐴𝐵) = (𝑖 · 𝑀) ↔ ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵) = 𝐴))
22 eqcom 2628 . . . . . . . . 9 (𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵) ↔ ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵) = 𝐴)
2321, 22syl6rbbr 279 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵) ↔ (𝐴𝐵) = (𝑖 · 𝑀)))
243ad2antrr 761 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ)
2524, 13subcld 10343 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
2625adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
27 rpcnne0 11801 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℝ+ → (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0))
2827adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) → (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0))
2928ad2antrr 761 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0))
30 divmul3 10641 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0)) → (((𝐴𝐵) / 𝑀) = 𝑖 ↔ (𝐴𝐵) = (𝑖 · 𝑀)))
3126, 16, 29, 30syl3anc 1323 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (((𝐴𝐵) / 𝑀) = 𝑖 ↔ (𝐴𝐵) = (𝑖 · 𝑀)))
32 oveq2 6618 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 = (𝐴 mod 𝑀) → (𝐴𝐵) = (𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)))
3332oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 = (𝐴 mod 𝑀) → ((𝐴𝐵) / 𝑀) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀))
3433eqcoms 2629 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ((𝐴𝐵) / 𝑀) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀))
3534adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → ((𝐴𝐵) / 𝑀) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀))
3635adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝐴𝐵) / 𝑀) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀))
37 moddiffl 12628 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀) = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)))
386, 37sylan 488 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀) = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)))
3938ad2antrr 761 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀) = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)))
4036, 39eqtrd 2655 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝐴𝐵) / 𝑀) = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)))
4140eqeq1d 2623 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (((𝐴𝐵) / 𝑀) = 𝑖 ↔ (⌊‘(𝐴 / 𝑀)) = 𝑖))
4223, 31, 413bitr2d 296 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵) ↔ (⌊‘(𝐴 / 𝑀)) = 𝑖))
43 nn0ge0 11269 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
446, 43jca 554 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
45 rpregt0 11797 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℝ+ → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀))
46 divge0 10843 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝑀))
4744, 45, 46syl2an 494 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝐴 / 𝑀))
486adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
49 rpre 11790 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℝ+𝑀 ∈ ℝ)
5049adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℝ)
51 rpne0 11799 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℝ+𝑀 ≠ 0)
5251adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) → 𝑀 ≠ 0)
5348, 50, 52redivcld 10804 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝑀) ∈ ℝ)
54 0z 11339 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℤ
55 flge 12553 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 / 𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0 ≤ (𝐴 / 𝑀) ↔ 0 ≤ (⌊‘(𝐴 / 𝑀))))
5653, 54, 55sylancl 693 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) → (0 ≤ (𝐴 / 𝑀) ↔ 0 ≤ (⌊‘(𝐴 / 𝑀))))
5747, 56mpbid 222 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (⌊‘(𝐴 / 𝑀)))
58 breq2 4622 . . . . . . . . 9 ((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) = 𝑖 → (0 ≤ (⌊‘(𝐴 / 𝑀)) ↔ 0 ≤ 𝑖))
5957, 58syl5ibcom 235 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) = 𝑖 → 0 ≤ 𝑖))
6059ad2antrr 761 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) = 𝑖 → 0 ≤ 𝑖))
6142, 60sylbid 230 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵) → 0 ≤ 𝑖))
6261imp 445 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)) → 0 ≤ 𝑖)
63 elnn0z 11341 . . . . 5 (𝑖 ∈ ℕ0 ↔ (𝑖 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑖))
642, 62, 63sylanbrc 697 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
65 oveq1 6617 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 · 𝑀) = (𝑖 · 𝑀))
6665oveq1d 6625 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑖 → ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵))
6766eqeq2d 2631 . . . . 5 (𝑘 = 𝑖 → (𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) ↔ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)))
6867adantl 482 . . . 4 ((((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) ↔ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)))
69 simpr 477 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)) → 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵))
7064, 68, 69rspcedvd 3305 . . 3 (((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵))
71 nn0z 11351 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ)
72 modmuladdim 12660 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)))
7371, 72sylan 488 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)))
7473imp 445 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → ∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵))
7570, 74r19.29a 3072 . 2 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵))
7675ex 450 1 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∃wrex 2908   class class class wbr 4618  ‘cfv 5852  (class class class)co 6610  ℂcc 9885  ℝcr 9886  0cc0 9887   + caddc 9890   · cmul 9892   < clt 10025   ≤ cle 10026   − cmin 10217   / cdiv 10635  ℕ0cn0 11243  ℤcz 11328  ℝ+crp 11783  ⌊cfl 12538   mod cmo 12615 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964  ax-pre-sup 9965 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-sup 8299  df-inf 8300  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-div 10636  df-nn 10972  df-n0 11244  df-z 11329  df-uz 11639  df-rp 11784  df-ico 12130  df-fl 12540  df-mod 12616 This theorem is referenced by:  2lgslem3a1  25038  2lgslem3b1  25039  2lgslem3c1  25040  2lgslem3d1  25041
 Copyright terms: Public domain W3C validator