MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modmulnn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem modmulnn 12625
Description: Move a positive integer in and out of a floor in the first argument of a modulo operation. (Contributed by NM, 2-Jan-2009.)
Assertion
Ref Expression
modmulnn ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑁 · (⌊‘𝐴)) mod (𝑁 · 𝑀)) ≤ ((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) mod (𝑁 · 𝑀)))

Proof of Theorem modmulnn
StepHypRef Expression
1 nnre 10972 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2 reflcl 12534 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
3 remulcl 9966 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ∈ ℝ)
41, 2, 3syl2an 494 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ∈ ℝ)
543adant3 1079 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ∈ ℝ)
6 remulcl 9966 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁 · 𝐴) ∈ ℝ)
71, 6sylan 488 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁 · 𝐴) ∈ ℝ)
8 reflcl 12534 . . . . 5 ((𝑁 · 𝐴) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℝ)
97, 8syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (⌊‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℝ)
1093adant3 1079 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℝ)
11 nnmulcl 10988 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑀) ∈ ℕ)
1211nnred 10980 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑀) ∈ ℝ)
13123adant2 1078 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑀) ∈ ℝ)
14 nncn 10973 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
15 nnne0 10998 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
1614, 15jca 554 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0))
17 nncn 10973 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
18 nnne0 10998 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ≠ 0)
1917, 18jca 554 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0))
20 mulne0 10614 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0)) → (𝑁 · 𝑀) ≠ 0)
2116, 19, 20syl2an 494 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑀) ≠ 0)
22213adant2 1078 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑀) ≠ 0)
235, 13, 22redivcld 10798 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀)) ∈ ℝ)
24 reflcl 12534 . . . . 5 (((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀)) ∈ ℝ → (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))) ∈ ℝ)
2523, 24syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))) ∈ ℝ)
2613, 25remulcld 10015 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑁 · 𝑀) · (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀)))) ∈ ℝ)
27 nnnn0 11244 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
28 flmulnn0 12565 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ≤ (⌊‘(𝑁 · 𝐴)))
2927, 28sylan 488 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ≤ (⌊‘(𝑁 · 𝐴)))
30293adant3 1079 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ≤ (⌊‘(𝑁 · 𝐴)))
315, 10, 26, 30lesub1dd 10588 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑁 · (⌊‘𝐴)) − ((𝑁 · 𝑀) · (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))))) ≤ ((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) − ((𝑁 · 𝑀) · (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))))))
3211nnrpd 11814 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑀) ∈ ℝ+)
33323adant2 1078 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑀) ∈ ℝ+)
34 modval 12607 . . 3 (((𝑁 · (⌊‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 · 𝑀) ∈ ℝ+) → ((𝑁 · (⌊‘𝐴)) mod (𝑁 · 𝑀)) = ((𝑁 · (⌊‘𝐴)) − ((𝑁 · 𝑀) · (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))))))
355, 33, 34syl2anc 692 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑁 · (⌊‘𝐴)) mod (𝑁 · 𝑀)) = ((𝑁 · (⌊‘𝐴)) − ((𝑁 · 𝑀) · (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))))))
36 modval 12607 . . . 4 (((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 · 𝑀) ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) mod (𝑁 · 𝑀)) = ((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) − ((𝑁 · 𝑀) · (⌊‘((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))))))
3710, 33, 36syl2anc 692 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) mod (𝑁 · 𝑀)) = ((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) − ((𝑁 · 𝑀) · (⌊‘((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))))))
3873adant3 1079 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝐴) ∈ ℝ)
39113adant2 1078 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑀) ∈ ℕ)
40 fldiv 12596 . . . . . . 7 (((𝑁 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑁 · 𝑀) ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))) = (⌊‘((𝑁 · 𝐴) / (𝑁 · 𝑀))))
4138, 39, 40syl2anc 692 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))) = (⌊‘((𝑁 · 𝐴) / (𝑁 · 𝑀))))
42 fldiv 12596 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑀)) = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)))
43423adant3 1079 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑀)) = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)))
442recnd 10013 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℂ)
45 divcan5 10672 . . . . . . . . . 10 (((⌊‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀)) = ((⌊‘𝐴) / 𝑀))
4644, 19, 16, 45syl3an 1365 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀)) = ((⌊‘𝐴) / 𝑀))
4746fveq2d 6154 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))) = (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑀)))
48 recn 9971 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
49 divcan5 10672 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑁 · 𝐴) / (𝑁 · 𝑀)) = (𝐴 / 𝑀))
5048, 19, 16, 49syl3an 1365 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 · 𝐴) / (𝑁 · 𝑀)) = (𝐴 / 𝑀))
5150fveq2d 6154 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝑁 · 𝐴) / (𝑁 · 𝑀))) = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)))
5243, 47, 513eqtr4rd 2671 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝑁 · 𝐴) / (𝑁 · 𝑀))) = (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))))
53523comr 1270 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝑁 · 𝐴) / (𝑁 · 𝑀))) = (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))))
5441, 53eqtrd 2660 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))) = (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))))
5554oveq2d 6621 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑁 · 𝑀) · (⌊‘((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) / (𝑁 · 𝑀)))) = ((𝑁 · 𝑀) · (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀)))))
5655oveq2d 6621 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) − ((𝑁 · 𝑀) · (⌊‘((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))))) = ((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) − ((𝑁 · 𝑀) · (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))))))
5737, 56eqtrd 2660 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) mod (𝑁 · 𝑀)) = ((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) − ((𝑁 · 𝑀) · (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))))))
5831, 35, 573brtr4d 4650 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑁 · (⌊‘𝐴)) mod (𝑁 · 𝑀)) ≤ ((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) mod (𝑁 · 𝑀)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796   class class class wbr 4618  cfv 5850  (class class class)co 6605  cc 9879  cr 9880  0cc0 9881   · cmul 9886  cle 10020  cmin 10211   / cdiv 10629  cn 10965  0cn0 11237  +crp 11776  cfl 12528   mod cmo 12605
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-sup 8293  df-inf 8294  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fl 12530  df-mod 12606
This theorem is referenced by:  digit1  12935
  Copyright terms: Public domain W3C validator