MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modnegd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem modnegd 12708
Description: Negation property of the modulo operation. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
modnegd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
modnegd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
modnegd.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
modnegd.4 (𝜑 → (𝐴 mod 𝐶) = (𝐵 mod 𝐶))
Assertion
Ref Expression
modnegd (𝜑 → (-𝐴 mod 𝐶) = (-𝐵 mod 𝐶))

Proof of Theorem modnegd
StepHypRef Expression
1 modnegd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 modnegd.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 1zzd 11393 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
43znegcld 11469 . . 3 (𝜑 → -1 ∈ ℤ)
5 modnegd.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
6 modnegd.4 . . 3 (𝜑 → (𝐴 mod 𝐶) = (𝐵 mod 𝐶))
7 modmul1 12706 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-1 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝐶) = (𝐵 mod 𝐶)) → ((𝐴 · -1) mod 𝐶) = ((𝐵 · -1) mod 𝐶))
81, 2, 4, 5, 6, 7syl221anc 1335 . 2 (𝜑 → ((𝐴 · -1) mod 𝐶) = ((𝐵 · -1) mod 𝐶))
91recnd 10053 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
10 1cnd 10041 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
1110negcld 10364 . . . . 5 (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
129, 11mulcomd 10046 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · -1) = (-1 · 𝐴))
139mulm1d 10467 . . . 4 (𝜑 → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
1412, 13eqtrd 2654 . . 3 (𝜑 → (𝐴 · -1) = -𝐴)
1514oveq1d 6650 . 2 (𝜑 → ((𝐴 · -1) mod 𝐶) = (-𝐴 mod 𝐶))
162recnd 10053 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
1716, 11mulcomd 10046 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 · -1) = (-1 · 𝐵))
1816mulm1d 10467 . . . 4 (𝜑 → (-1 · 𝐵) = -𝐵)
1917, 18eqtrd 2654 . . 3 (𝜑 → (𝐵 · -1) = -𝐵)
2019oveq1d 6650 . 2 (𝜑 → ((𝐵 · -1) mod 𝐶) = (-𝐵 mod 𝐶))
218, 15, 203eqtr3d 2662 1 (𝜑 → (-𝐴 mod 𝐶) = (-𝐵 mod 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1481  wcel 1988  (class class class)co 6635  cr 9920  1c1 9922   · cmul 9926  -cneg 10252  cz 11362  +crp 11817   mod cmo 12651
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-sup 8333  df-inf 8334  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-rp 11818  df-fl 12576  df-mod 12652
This theorem is referenced by:  modsub12d  12710
  Copyright terms: Public domain W3C validator