MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem modom 8112
Description: Two ways to express "at most one". (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
modom (∃*𝑥𝜑 ↔ {𝑥𝜑} ≼ 1𝑜)

Proof of Theorem modom
StepHypRef Expression
1 df-mo 2474 . 2 (∃*𝑥𝜑 ↔ (∃𝑥𝜑 → ∃!𝑥𝜑))
2 imor 428 . 2 ((∃𝑥𝜑 → ∃!𝑥𝜑) ↔ (¬ ∃𝑥𝜑 ∨ ∃!𝑥𝜑))
3 abn0 3933 . . . . . 6 ({𝑥𝜑} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥𝜑)
43necon1bbii 2839 . . . . 5 (¬ ∃𝑥𝜑 ↔ {𝑥𝜑} = ∅)
5 sdom1 8111 . . . . 5 ({𝑥𝜑} ≺ 1𝑜 ↔ {𝑥𝜑} = ∅)
64, 5bitr4i 267 . . . 4 (¬ ∃𝑥𝜑 ↔ {𝑥𝜑} ≺ 1𝑜)
7 euen1 7977 . . . 4 (∃!𝑥𝜑 ↔ {𝑥𝜑} ≈ 1𝑜)
86, 7orbi12i 543 . . 3 ((¬ ∃𝑥𝜑 ∨ ∃!𝑥𝜑) ↔ ({𝑥𝜑} ≺ 1𝑜 ∨ {𝑥𝜑} ≈ 1𝑜))
9 brdom2 7936 . . 3 ({𝑥𝜑} ≼ 1𝑜 ↔ ({𝑥𝜑} ≺ 1𝑜 ∨ {𝑥𝜑} ≈ 1𝑜))
108, 9bitr4i 267 . 2 ((¬ ∃𝑥𝜑 ∨ ∃!𝑥𝜑) ↔ {𝑥𝜑} ≼ 1𝑜)
111, 2, 103bitri 286 1 (∃*𝑥𝜑 ↔ {𝑥𝜑} ≼ 1𝑜)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383   = wceq 1480  wex 1701  ∃!weu 2469  ∃*wmo 2470  {cab 2607  c0 3896   class class class wbr 4618  1𝑜c1o 7505  cen 7903  cdom 7904  csdm 7905
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-om 7020  df-1o 7512  df-er 7694  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909
This theorem is referenced by:  modom2  8113
  Copyright terms: Public domain W3C validator