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Theorem modprm0 15437
Description: For two positive integers less than a given prime number there is always a nonnegative integer (less than the given prime number) so that the sum of one of the two positive integers and the other of the positive integers multiplied by the nonnegative integer is 0 ( modulo the given prime number). (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
modprm0 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0)
Distinct variable groups:   𝑗,𝐼   𝑗,𝑁   𝑃,𝑗

Proof of Theorem modprm0
Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reumodprminv 15436 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → ∃!𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1))((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1)
2 reurex 3149 . . . 4 (∃!𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1))((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1 → ∃𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1))((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1)
3 prmz 15316 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
433ad2ant1 1080 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → 𝑃 ∈ ℤ)
54adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → 𝑃 ∈ ℤ)
6 elfzelz 12287 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑟 ∈ ℤ)
76adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) → 𝑟 ∈ ℤ)
8 elfzoelz 12414 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ (1..^𝑃) → 𝐼 ∈ ℤ)
983ad2ant3 1082 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → 𝐼 ∈ ℤ)
10 zmulcl 11373 . . . . . . . . . 10 ((𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝑟 · 𝐼) ∈ ℤ)
117, 9, 10syl2an 494 . . . . . . . . 9 (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (𝑟 · 𝐼) ∈ ℤ)
125, 11zsubcld 11434 . . . . . . . 8 (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) ∈ ℤ)
13 prmnn 15315 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
14133ad2ant1 1080 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → 𝑃 ∈ ℕ)
1514adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → 𝑃 ∈ ℕ)
16 zmodfzo 12636 . . . . . . . 8 (((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) mod 𝑃) ∈ (0..^𝑃))
1712, 15, 16syl2anc 692 . . . . . . 7 (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) mod 𝑃) ∈ (0..^𝑃))
188zred 11429 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ (1..^𝑃) → 𝐼 ∈ ℝ)
19183ad2ant3 1082 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → 𝐼 ∈ ℝ)
2019adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → 𝐼 ∈ ℝ)
2113nnred 10982 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
22213ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → 𝑃 ∈ ℝ)
2322adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → 𝑃 ∈ ℝ)
246zred 11429 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑟 ∈ ℝ)
2524adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) → 𝑟 ∈ ℝ)
26 remulcl 9968 . . . . . . . . . . 11 ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → (𝑟 · 𝐼) ∈ ℝ)
2725, 19, 26syl2an 494 . . . . . . . . . 10 (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (𝑟 · 𝐼) ∈ ℝ)
2823, 27resubcld 10405 . . . . . . . . 9 (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) ∈ ℝ)
29 elfzoelz 12414 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (1..^𝑃) → 𝑁 ∈ ℤ)
30293ad2ant2 1081 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → 𝑁 ∈ ℤ)
3130adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → 𝑁 ∈ ℤ)
3213nnrpd 11817 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ+)
33323ad2ant1 1080 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → 𝑃 ∈ ℝ+)
3433adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → 𝑃 ∈ ℝ+)
35 modaddmulmod 12680 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ ℝ ∧ (𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → ((𝐼 + (((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) mod 𝑃) · 𝑁)) mod 𝑃) = ((𝐼 + ((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) · 𝑁)) mod 𝑃))
3620, 28, 31, 34, 35syl31anc 1326 . . . . . . . 8 (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝐼 + (((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) mod 𝑃) · 𝑁)) mod 𝑃) = ((𝐼 + ((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) · 𝑁)) mod 𝑃))
3713nncnd 10983 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℂ)
38373ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → 𝑃 ∈ ℂ)
3938adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → 𝑃 ∈ ℂ)
406zcnd 11430 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑟 ∈ ℂ)
4140adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) → 𝑟 ∈ ℂ)
428zcnd 11430 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 ∈ (1..^𝑃) → 𝐼 ∈ ℂ)
43423ad2ant3 1082 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → 𝐼 ∈ ℂ)
44 mulcl 9967 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝐼 ∈ ℂ) → (𝑟 · 𝐼) ∈ ℂ)
4541, 43, 44syl2an 494 . . . . . . . . . . 11 (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (𝑟 · 𝐼) ∈ ℂ)
4629zcnd 11430 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (1..^𝑃) → 𝑁 ∈ ℂ)
47463ad2ant2 1081 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → 𝑁 ∈ ℂ)
4847adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → 𝑁 ∈ ℂ)
4939, 45, 48subdird 10434 . . . . . . . . . 10 (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) · 𝑁) = ((𝑃 · 𝑁) − ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁)))
5049oveq2d 6623 . . . . . . . . 9 (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (𝐼 + ((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) · 𝑁)) = (𝐼 + ((𝑃 · 𝑁) − ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁))))
5150oveq1d 6622 . . . . . . . 8 (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝐼 + ((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) · 𝑁)) mod 𝑃) = ((𝐼 + ((𝑃 · 𝑁) − ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁))) mod 𝑃))
52 mulcom 9969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑃 · 𝑁) = (𝑁 · 𝑃))
5337, 46, 52syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → (𝑃 · 𝑁) = (𝑁 · 𝑃))
5453oveq1d 6622 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → ((𝑃 · 𝑁) mod 𝑃) = ((𝑁 · 𝑃) mod 𝑃))
55 mulmod0 12619 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → ((𝑁 · 𝑃) mod 𝑃) = 0)
5629, 32, 55syl2anr 495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → ((𝑁 · 𝑃) mod 𝑃) = 0)
5754, 56eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → ((𝑃 · 𝑁) mod 𝑃) = 0)
58573adant3 1079 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → ((𝑃 · 𝑁) mod 𝑃) = 0)
5958adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝑃 · 𝑁) mod 𝑃) = 0)
6041adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → 𝑟 ∈ ℂ)
6143adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → 𝐼 ∈ ℂ)
6260, 61, 48mul32d 10193 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁) = ((𝑟 · 𝑁) · 𝐼))
6362oveq1d 6622 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (((𝑟 · 𝐼) · 𝑁) mod 𝑃) = (((𝑟 · 𝑁) · 𝐼) mod 𝑃))
6429zred 11429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (1..^𝑃) → 𝑁 ∈ ℝ)
65643ad2ant2 1081 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → 𝑁 ∈ ℝ)
66 remulcl 9968 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑟 · 𝑁) ∈ ℝ)
6725, 65, 66syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (𝑟 · 𝑁) ∈ ℝ)
689adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → 𝐼 ∈ ℤ)
69 modmulmod 12678 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑟 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → ((((𝑟 · 𝑁) mod 𝑃) · 𝐼) mod 𝑃) = (((𝑟 · 𝑁) · 𝐼) mod 𝑃))
7067, 68, 34, 69syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((((𝑟 · 𝑁) mod 𝑃) · 𝐼) mod 𝑃) = (((𝑟 · 𝑁) · 𝐼) mod 𝑃))
7163, 70eqtr4d 2658 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (((𝑟 · 𝐼) · 𝑁) mod 𝑃) = ((((𝑟 · 𝑁) mod 𝑃) · 𝐼) mod 𝑃))
7259, 71oveq12d 6625 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (((𝑃 · 𝑁) mod 𝑃) − (((𝑟 · 𝐼) · 𝑁) mod 𝑃)) = (0 − ((((𝑟 · 𝑁) mod 𝑃) · 𝐼) mod 𝑃)))
7372oveq1d 6622 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((((𝑃 · 𝑁) mod 𝑃) − (((𝑟 · 𝐼) · 𝑁) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((0 − ((((𝑟 · 𝑁) mod 𝑃) · 𝐼) mod 𝑃)) mod 𝑃))
74 remulcl 9968 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑃 · 𝑁) ∈ ℝ)
7521, 64, 74syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → (𝑃 · 𝑁) ∈ ℝ)
76753adant3 1079 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → (𝑃 · 𝑁) ∈ ℝ)
7776adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (𝑃 · 𝑁) ∈ ℝ)
7865adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → 𝑁 ∈ ℝ)
7927, 78remulcld 10017 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁) ∈ ℝ)
80 modsubmodmod 12672 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → ((((𝑃 · 𝑁) mod 𝑃) − (((𝑟 · 𝐼) · 𝑁) mod 𝑃)) mod 𝑃) = (((𝑃 · 𝑁) − ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁)) mod 𝑃))
8177, 79, 34, 80syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((((𝑃 · 𝑁) mod 𝑃) − (((𝑟 · 𝐼) · 𝑁) mod 𝑃)) mod 𝑃) = (((𝑃 · 𝑁) − ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁)) mod 𝑃))
82 mulcom 9969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → (𝑁 · 𝑟) = (𝑟 · 𝑁))
8347, 40, 82syl2anr 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (𝑁 · 𝑟) = (𝑟 · 𝑁))
8483oveq1d 6622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = ((𝑟 · 𝑁) mod 𝑃))
8584eqeq1d 2623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1 ↔ ((𝑟 · 𝑁) mod 𝑃) = 1))
8685biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1 → ((𝑟 · 𝑁) mod 𝑃) = 1))
8786impancom 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → ((𝑟 · 𝑁) mod 𝑃) = 1))
8887imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝑟 · 𝑁) mod 𝑃) = 1)
8988oveq1d 6622 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (((𝑟 · 𝑁) mod 𝑃) · 𝐼) = (1 · 𝐼))
9089oveq1d 6622 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((((𝑟 · 𝑁) mod 𝑃) · 𝐼) mod 𝑃) = ((1 · 𝐼) mod 𝑃))
9190oveq2d 6623 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (0 − ((((𝑟 · 𝑁) mod 𝑃) · 𝐼) mod 𝑃)) = (0 − ((1 · 𝐼) mod 𝑃)))
9291oveq1d 6622 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((0 − ((((𝑟 · 𝑁) mod 𝑃) · 𝐼) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((0 − ((1 · 𝐼) mod 𝑃)) mod 𝑃))
9361mulid2d 10005 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (1 · 𝐼) = 𝐼)
9493oveq1d 6622 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((1 · 𝐼) mod 𝑃) = (𝐼 mod 𝑃))
9532, 18anim12ci 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → (𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+))
96 elfzo2 12417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐼 ∈ (1..^𝑃) ↔ (𝐼 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐼 < 𝑃))
97 eluz2 11640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐼 ∈ (ℤ‘1) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐼))
98 0red 9988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝐼 ∈ ℤ → 0 ∈ ℝ)
99 1red 10002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝐼 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
100 zre 11328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ ℝ)
10198, 99, 1003jca 1240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝐼 ∈ ℤ → (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ))
102101adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐼) → (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ))
103 0le1 10498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 0 ≤ 1
104103a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝐼 ∈ ℤ → 0 ≤ 1)
105104anim1i 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐼) → (0 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝐼))
106 letr 10078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝐼) → 0 ≤ 𝐼))
107102, 105, 106sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐼) → 0 ≤ 𝐼)
1081073adant1 1077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐼) → 0 ≤ 𝐼)
10997, 108sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐼 ∈ (ℤ‘1) → 0 ≤ 𝐼)
1101093ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐼 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐼 < 𝑃) → 0 ≤ 𝐼)
111 simp3 1061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐼 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐼 < 𝑃) → 𝐼 < 𝑃)
112110, 111jca 554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐼 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐼 < 𝑃) → (0 ≤ 𝐼𝐼 < 𝑃))
11396, 112sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐼 ∈ (1..^𝑃) → (0 ≤ 𝐼𝐼 < 𝑃))
114113adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → (0 ≤ 𝐼𝐼 < 𝑃))
11595, 114jca 554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐼𝐼 < 𝑃)))
1161153adant2 1078 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐼𝐼 < 𝑃)))
117116adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐼𝐼 < 𝑃)))
118 modid 12638 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐼𝐼 < 𝑃)) → (𝐼 mod 𝑃) = 𝐼)
119117, 118syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (𝐼 mod 𝑃) = 𝐼)
12094, 119eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((1 · 𝐼) mod 𝑃) = 𝐼)
121120oveq2d 6623 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (0 − ((1 · 𝐼) mod 𝑃)) = (0 − 𝐼))
122121oveq1d 6622 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((0 − ((1 · 𝐼) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((0 − 𝐼) mod 𝑃))
12392, 122eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((0 − ((((𝑟 · 𝑁) mod 𝑃) · 𝐼) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((0 − 𝐼) mod 𝑃))
12473, 81, 1233eqtr3d 2663 . . . . . . . . . . 11 (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (((𝑃 · 𝑁) − ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁)) mod 𝑃) = ((0 − 𝐼) mod 𝑃))
125124oveq2d 6623 . . . . . . . . . 10 (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (𝐼 + (((𝑃 · 𝑁) − ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁)) mod 𝑃)) = (𝐼 + ((0 − 𝐼) mod 𝑃)))
126125oveq1d 6622 . . . . . . . . 9 (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝐼 + (((𝑃 · 𝑁) − ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((𝐼 + ((0 − 𝐼) mod 𝑃)) mod 𝑃))
12777, 79resubcld 10405 . . . . . . . . . 10 (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝑃 · 𝑁) − ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁)) ∈ ℝ)
128 modadd2mod 12663 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 · 𝑁) − ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → ((𝐼 + (((𝑃 · 𝑁) − ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((𝐼 + ((𝑃 · 𝑁) − ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁))) mod 𝑃))
129127, 20, 34, 128syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝐼 + (((𝑃 · 𝑁) − ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((𝐼 + ((𝑃 · 𝑁) − ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁))) mod 𝑃))
130 0red 9988 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼 ∈ (1..^𝑃) → 0 ∈ ℝ)
131130, 18resubcld 10405 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 ∈ (1..^𝑃) → (0 − 𝐼) ∈ ℝ)
132131adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → (0 − 𝐼) ∈ ℝ)
13318adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → 𝐼 ∈ ℝ)
13432adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → 𝑃 ∈ ℝ+)
135132, 133, 1343jca 1240 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → ((0 − 𝐼) ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+))
1361353adant2 1078 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → ((0 − 𝐼) ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+))
137136adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((0 − 𝐼) ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+))
138 modadd2mod 12663 . . . . . . . . . . 11 (((0 − 𝐼) ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → ((𝐼 + ((0 − 𝐼) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((𝐼 + (0 − 𝐼)) mod 𝑃))
139137, 138syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝐼 + ((0 − 𝐼) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((𝐼 + (0 − 𝐼)) mod 𝑃))
140 0cnd 9980 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 ∈ (1..^𝑃) → 0 ∈ ℂ)
14142, 140pncan3d 10342 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 ∈ (1..^𝑃) → (𝐼 + (0 − 𝐼)) = 0)
1421413ad2ant3 1082 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → (𝐼 + (0 − 𝐼)) = 0)
143142adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (𝐼 + (0 − 𝐼)) = 0)
144143oveq1d 6622 . . . . . . . . . 10 (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝐼 + (0 − 𝐼)) mod 𝑃) = (0 mod 𝑃))
145 0mod 12644 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℝ+ → (0 mod 𝑃) = 0)
14632, 145syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ ℙ → (0 mod 𝑃) = 0)
1471463ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → (0 mod 𝑃) = 0)
148147adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (0 mod 𝑃) = 0)
149139, 144, 1483eqtrd 2659 . . . . . . . . 9 (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝐼 + ((0 − 𝐼) mod 𝑃)) mod 𝑃) = 0)
150126, 129, 1493eqtr3d 2663 . . . . . . . 8 (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝐼 + ((𝑃 · 𝑁) − ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁))) mod 𝑃) = 0)
15136, 51, 1503eqtrd 2659 . . . . . . 7 (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝐼 + (((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) mod 𝑃) · 𝑁)) mod 𝑃) = 0)
152 oveq1 6614 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = ((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) mod 𝑃) → (𝑗 · 𝑁) = (((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) mod 𝑃) · 𝑁))
153152oveq2d 6623 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = ((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) mod 𝑃) → (𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) = (𝐼 + (((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) mod 𝑃) · 𝑁)))
154153oveq1d 6622 . . . . . . . . 9 (𝑗 = ((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) mod 𝑃) → ((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = ((𝐼 + (((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) mod 𝑃) · 𝑁)) mod 𝑃))
155154eqeq1d 2623 . . . . . . . 8 (𝑗 = ((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) mod 𝑃) → (((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0 ↔ ((𝐼 + (((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) mod 𝑃) · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
156155rspcev 3295 . . . . . . 7 ((((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) mod 𝑃) ∈ (0..^𝑃) ∧ ((𝐼 + (((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) mod 𝑃) · 𝑁)) mod 𝑃) = 0) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0)
15717, 151, 156syl2anc 692 . . . . . 6 (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0)
158157ex 450 . . . . 5 ((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
159158rexlimiva 3021 . . . 4 (∃𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1))((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1 → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
1601, 2, 1593syl 18 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
1611603adant3 1079 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
162161pm2.43i 52 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wrex 2908  ∃!wreu 2909   class class class wbr 4615  cfv 5849  (class class class)co 6607  cc 9881  cr 9882  0cc0 9883  1c1 9884   + caddc 9886   · cmul 9888   < clt 10021  cle 10022  cmin 10213  cn 10967  cz 11324  cuz 11634  +crp 11779  ...cfz 12271  ..^cfzo 12409   mod cmo 12611  cprime 15312
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960  ax-pre-sup 9961
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-1o 7508  df-2o 7509  df-oadd 7512  df-er 7690  df-map 7807  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-fin 7906  df-sup 8295  df-inf 8296  df-card 8712  df-cda 8937  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-div 10632  df-nn 10968  df-2 11026  df-3 11027  df-n0 11240  df-xnn0 11311  df-z 11325  df-uz 11635  df-rp 11780  df-fz 12272  df-fzo 12410  df-fl 12536  df-mod 12612  df-seq 12745  df-exp 12804  df-hash 13061  df-cj 13776  df-re 13777  df-im 13778  df-sqrt 13912  df-abs 13913  df-dvds 14911  df-gcd 15144  df-prm 15313  df-phi 15398
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