MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modsubi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem modsubi 15700
Description: Subtract from within a mod calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
modsubi.1 𝑁 ∈ ℕ
modsubi.2 𝐴 ∈ ℕ
modsubi.3 𝐵 ∈ ℕ0
modsubi.4 𝑀 ∈ ℕ0
modsubi.6 (𝐴 mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁)
modsubi.5 (𝑀 + 𝐵) = 𝐾
Assertion
Ref Expression
modsubi ((𝐴𝐵) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)

Proof of Theorem modsubi
StepHypRef Expression
1 modsubi.2 . . . . 5 𝐴 ∈ ℕ
21nnrei 10973 . . . 4 𝐴 ∈ ℝ
3 modsubi.5 . . . . 5 (𝑀 + 𝐵) = 𝐾
4 modsubi.4 . . . . . . 7 𝑀 ∈ ℕ0
5 modsubi.3 . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℕ0
64, 5nn0addcli 11274 . . . . . 6 (𝑀 + 𝐵) ∈ ℕ0
76nn0rei 11247 . . . . 5 (𝑀 + 𝐵) ∈ ℝ
83, 7eqeltrri 2695 . . . 4 𝐾 ∈ ℝ
92, 8pm3.2i 471 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ)
105nn0rei 11247 . . . . 5 𝐵 ∈ ℝ
1110renegcli 10286 . . . 4 -𝐵 ∈ ℝ
12 modsubi.1 . . . . 5 𝑁 ∈ ℕ
13 nnrp 11786 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
1412, 13ax-mp 5 . . . 4 𝑁 ∈ ℝ+
1511, 14pm3.2i 471 . . 3 (-𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+)
16 modsubi.6 . . 3 (𝐴 mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁)
17 modadd1 12647 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ (-𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁)) → ((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐾 + -𝐵) mod 𝑁))
189, 15, 16, 17mp3an 1421 . 2 ((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐾 + -𝐵) mod 𝑁)
191nncni 10974 . . . 4 𝐴 ∈ ℂ
205nn0cni 11248 . . . 4 𝐵 ∈ ℂ
2119, 20negsubi 10303 . . 3 (𝐴 + -𝐵) = (𝐴𝐵)
2221oveq1i 6614 . 2 ((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐴𝐵) mod 𝑁)
238recni 9996 . . . . 5 𝐾 ∈ ℂ
2423, 20negsubi 10303 . . . 4 (𝐾 + -𝐵) = (𝐾𝐵)
254nn0cni 11248 . . . . . 6 𝑀 ∈ ℂ
2623, 20, 25subadd2i 10313 . . . . 5 ((𝐾𝐵) = 𝑀 ↔ (𝑀 + 𝐵) = 𝐾)
273, 26mpbir 221 . . . 4 (𝐾𝐵) = 𝑀
2824, 27eqtri 2643 . . 3 (𝐾 + -𝐵) = 𝑀
2928oveq1i 6614 . 2 ((𝐾 + -𝐵) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)
3018, 22, 293eqtr3i 2651 1 ((𝐴𝐵) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  (class class class)co 6604  cr 9879   + caddc 9883  cmin 10210  -cneg 10211  cn 10964  0cn0 11236  +crp 11776   mod cmo 12608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fl 12533  df-mod 12609
This theorem is referenced by:  1259lem5  15766  2503lem3  15770  4001lem4  15775
  Copyright terms: Public domain W3C validator