Theorem monhom 17007

Description: A monomorphism is a morphism. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismon.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
ismon.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
ismon.o	⊢ · = (comp‘𝐶)
ismon.s	⊢ 𝑀 = (Mono‘𝐶)
ismon.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
ismon.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ismon.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
monhom	⊢ (𝜑 → (𝑋𝑀𝑌) ⊆ (𝑋𝐻𝑌))

Proof of Theorem monhom

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismon.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		ismon.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
3		ismon.o	. . . 4 ⊢ · = (comp‘𝐶)
4		ismon.s	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (Mono‘𝐶)
5		ismon.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
6		ismon.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		ismon.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ismon 17005	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝑋𝑀𝑌) ↔ (𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 Fun ◡(𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝑓(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔)))))
9		simpl 485	. . 3 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 Fun ◡(𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝑓(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔))) → 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
10	8, 9	syl6bi 255	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝑋𝑀𝑌) → 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌)))
11	10	ssrdv 3975	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝑀𝑌) ⊆ (𝑋𝐻𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3140   ⊆ wss 3938  ⟨cop 4575   ↦ cmpt 5148  ^◡ccnv 5556  Fun wfun 6351  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  Basecbs 16485  Hom chom 16578  compcco 16579  Catccat 16937  Monocmon 17000

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-mon 17002

This theorem is referenced by:  setcmon  17349