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Theorem monmat2matmon 20569
Description: The transformation of a polynomial matrix having scaled monomials with the same power as entries into a scaled monomial as a polynomial over matrices. (Contributed by AV, 11-Nov-2019.) (Revised by AV, 7-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
monmat2matmon.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
monmat2matmon.c 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
monmat2matmon.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
monmat2matmon.m1 = ( ·𝑠𝑄)
monmat2matmon.e1 = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
monmat2matmon.x 𝑋 = (var1𝐴)
monmat2matmon.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
monmat2matmon.k 𝐾 = (Base‘𝐴)
monmat2matmon.q 𝑄 = (Poly1𝐴)
monmat2matmon.i 𝐼 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)
monmat2matmon.e2 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
monmat2matmon.y 𝑌 = (var1𝑅)
monmat2matmon.m2 · = ( ·𝑠𝐶)
monmat2matmon.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
monmat2matmon (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝐼‘((𝐿𝐸𝑌) · (𝑇𝑀))) = (𝑀 (𝐿 𝑋)))

Proof of Theorem monmat2matmon
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 crngring 18498 . . 3 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2 simpll 789 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ Fin)
3 simplr 791 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) → 𝑅 ∈ Ring)
4 monmat2matmon.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
5 monmat2matmon.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝐴)
6 monmat2matmon.t . . . . 5 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
7 monmat2matmon.p . . . . 5 𝑃 = (Poly1𝑅)
8 monmat2matmon.c . . . . 5 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
9 monmat2matmon.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐶)
10 monmat2matmon.m2 . . . . 5 · = ( ·𝑠𝐶)
11 monmat2matmon.e2 . . . . 5 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
12 monmat2matmon.y . . . . 5 𝑌 = (var1𝑅)
134, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12mat2pmatscmxcl 20485 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) → ((𝐿𝐸𝑌) · (𝑇𝑀)) ∈ 𝐵)
14 monmat2matmon.m1 . . . . 5 = ( ·𝑠𝑄)
15 monmat2matmon.e1 . . . . 5 = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
16 monmat2matmon.x . . . . 5 𝑋 = (var1𝐴)
17 monmat2matmon.q . . . . 5 𝑄 = (Poly1𝐴)
18 monmat2matmon.i . . . . 5 𝐼 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)
197, 8, 9, 14, 15, 16, 4, 17, 18pm2mpfval 20541 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝐿𝐸𝑌) · (𝑇𝑀)) ∈ 𝐵) → (𝐼‘((𝐿𝐸𝑌) · (𝑇𝑀))) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((((𝐿𝐸𝑌) · (𝑇𝑀)) decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋)))))
202, 3, 13, 19syl3anc 1323 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝐼‘((𝐿𝐸𝑌) · (𝑇𝑀))) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((((𝐿𝐸𝑌) · (𝑇𝑀)) decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋)))))
211, 20sylanl2 682 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝐼‘((𝐿𝐸𝑌) · (𝑇𝑀))) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((((𝐿𝐸𝑌) · (𝑇𝑀)) decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋)))))
22 simpll 789 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing))
23 simpr 477 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0))
2423anim1i 591 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0))
25 df-3an 1038 . . . . . . . . 9 ((𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ↔ ((𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0))
2624, 25sylibr 224 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0))
27 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (0g𝐴) = (0g𝐴)
287, 8, 4, 5, 27, 11, 12, 10, 6monmatcollpw 20524 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0)) → (((𝐿𝐸𝑌) · (𝑇𝑀)) decompPMat 𝑘) = if(𝑘 = 𝐿, 𝑀, (0g𝐴)))
2922, 26, 28syl2anc 692 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐿𝐸𝑌) · (𝑇𝑀)) decompPMat 𝑘) = if(𝑘 = 𝐿, 𝑀, (0g𝐴)))
3029oveq1d 6630 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((𝐿𝐸𝑌) · (𝑇𝑀)) decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋)) = (if(𝑘 = 𝐿, 𝑀, (0g𝐴)) (𝑘 𝑋)))
311a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring))
3231anim2d 588 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring)))
3332anim1d 587 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0))))
3433imdistanri 726 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0))
35 ovif 6702 . . . . . . . 8 (if(𝑘 = 𝐿, 𝑀, (0g𝐴)) (𝑘 𝑋)) = if(𝑘 = 𝐿, (𝑀 (𝑘 𝑋)), ((0g𝐴) (𝑘 𝑋)))
364matring 20189 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
3717ply1sca 19563 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ Ring → 𝐴 = (Scalar‘𝑄))
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 = (Scalar‘𝑄))
3938ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 = (Scalar‘𝑄))
4039fveq2d 6162 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (0g𝐴) = (0g‘(Scalar‘𝑄)))
4140oveq1d 6630 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((0g𝐴) (𝑘 𝑋)) = ((0g‘(Scalar‘𝑄)) (𝑘 𝑋)))
4217ply1lmod 19562 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ Ring → 𝑄 ∈ LMod)
4336, 42syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑄 ∈ LMod)
4443ad2antrr 761 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑄 ∈ LMod)
4517ply1ring 19558 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ Ring → 𝑄 ∈ Ring)
4636, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑄 ∈ Ring)
47 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . 15 (mulGrp‘𝑄) = (mulGrp‘𝑄)
4847ringmgp 18493 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑄 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑄) ∈ Mnd)
4946, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (mulGrp‘𝑄) ∈ Mnd)
5049ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (mulGrp‘𝑄) ∈ Mnd)
51 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
52 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
5316, 17, 52vr1cl 19527 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑄))
5436, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑄))
5554ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑄))
5647, 52mgpbas 18435 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝑄) = (Base‘(mulGrp‘𝑄))
5756, 15mulgnn0cl 17498 . . . . . . . . . . . 12 (((mulGrp‘𝑄) ∈ Mnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0𝑋 ∈ (Base‘𝑄)) → (𝑘 𝑋) ∈ (Base‘𝑄))
5850, 51, 55, 57syl3anc 1323 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 𝑋) ∈ (Base‘𝑄))
59 eqid 2621 . . . . . . . . . . . 12 (Scalar‘𝑄) = (Scalar‘𝑄)
60 eqid 2621 . . . . . . . . . . . 12 (0g‘(Scalar‘𝑄)) = (0g‘(Scalar‘𝑄))
61 eqid 2621 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝑄) = (0g𝑄)
6252, 59, 14, 60, 61lmod0vs 18836 . . . . . . . . . . 11 ((𝑄 ∈ LMod ∧ (𝑘 𝑋) ∈ (Base‘𝑄)) → ((0g‘(Scalar‘𝑄)) (𝑘 𝑋)) = (0g𝑄))
6344, 58, 62syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((0g‘(Scalar‘𝑄)) (𝑘 𝑋)) = (0g𝑄))
6441, 63eqtrd 2655 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((0g𝐴) (𝑘 𝑋)) = (0g𝑄))
6564ifeq2d 4083 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → if(𝑘 = 𝐿, (𝑀 (𝑘 𝑋)), ((0g𝐴) (𝑘 𝑋))) = if(𝑘 = 𝐿, (𝑀 (𝑘 𝑋)), (0g𝑄)))
6635, 65syl5eq 2667 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (if(𝑘 = 𝐿, 𝑀, (0g𝐴)) (𝑘 𝑋)) = if(𝑘 = 𝐿, (𝑀 (𝑘 𝑋)), (0g𝑄)))
6734, 66syl 17 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (if(𝑘 = 𝐿, 𝑀, (0g𝐴)) (𝑘 𝑋)) = if(𝑘 = 𝐿, (𝑀 (𝑘 𝑋)), (0g𝑄)))
6830, 67eqtrd 2655 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((𝐿𝐸𝑌) · (𝑇𝑀)) decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋)) = if(𝑘 = 𝐿, (𝑀 (𝑘 𝑋)), (0g𝑄)))
6968mpteq2dva 4714 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((((𝐿𝐸𝑌) · (𝑇𝑀)) decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 𝐿, (𝑀 (𝑘 𝑋)), (0g𝑄))))
7069oveq2d 6631 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((((𝐿𝐸𝑌) · (𝑇𝑀)) decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋)))) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 𝐿, (𝑀 (𝑘 𝑋)), (0g𝑄)))))
71 ringmnd 18496 . . . . . . 7 (𝑄 ∈ Ring → 𝑄 ∈ Mnd)
7246, 71syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑄 ∈ Mnd)
7372adantr 481 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) → 𝑄 ∈ Mnd)
74 nn0ex 11258 . . . . . 6 0 ∈ V
7574a1i 11 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) → ℕ0 ∈ V)
76 simprr 795 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
77 eqid 2621 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 𝐿, (𝑀 (𝑘 𝑋)), (0g𝑄))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 𝐿, (𝑀 (𝑘 𝑋)), (0g𝑄)))
7838fveq2d 6162 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘𝐴) = (Base‘(Scalar‘𝑄)))
795, 78syl5eq 2667 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑄)))
8079eleq2d 2684 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑀𝐾𝑀 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄))))
8180biimpcd 239 . . . . . . . . . 10 (𝑀𝐾 → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑀 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄))))
8281adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑀 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄))))
8382impcom 446 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) → 𝑀 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄)))
8483adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄)))
85 eqid 2621 . . . . . . . 8 (Base‘(Scalar‘𝑄)) = (Base‘(Scalar‘𝑄))
8652, 59, 14, 85lmodvscl 18820 . . . . . . 7 ((𝑄 ∈ LMod ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄)) ∧ (𝑘 𝑋) ∈ (Base‘𝑄)) → (𝑀 (𝑘 𝑋)) ∈ (Base‘𝑄))
8744, 84, 58, 86syl3anc 1323 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 (𝑘 𝑋)) ∈ (Base‘𝑄))
8887ralrimiva 2962 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑀 (𝑘 𝑋)) ∈ (Base‘𝑄))
8961, 73, 75, 76, 77, 88gsummpt1n0 18304 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 𝐿, (𝑀 (𝑘 𝑋)), (0g𝑄)))) = 𝐿 / 𝑘(𝑀 (𝑘 𝑋)))
901, 89sylanl2 682 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 𝐿, (𝑀 (𝑘 𝑋)), (0g𝑄)))) = 𝐿 / 𝑘(𝑀 (𝑘 𝑋)))
9170, 90eqtrd 2655 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((((𝐿𝐸𝑌) · (𝑇𝑀)) decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋)))) = 𝐿 / 𝑘(𝑀 (𝑘 𝑋)))
92 csbov2g 6656 . . . 4 (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 / 𝑘(𝑀 (𝑘 𝑋)) = (𝑀 𝐿 / 𝑘(𝑘 𝑋)))
93 csbov1g 6655 . . . . . 6 (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 / 𝑘(𝑘 𝑋) = (𝐿 / 𝑘𝑘 𝑋))
94 csbvarg 3981 . . . . . . 7 (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 / 𝑘𝑘 = 𝐿)
9594oveq1d 6630 . . . . . 6 (𝐿 ∈ ℕ0 → (𝐿 / 𝑘𝑘 𝑋) = (𝐿 𝑋))
9693, 95eqtrd 2655 . . . . 5 (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 / 𝑘(𝑘 𝑋) = (𝐿 𝑋))
9796oveq2d 6631 . . . 4 (𝐿 ∈ ℕ0 → (𝑀 𝐿 / 𝑘(𝑘 𝑋)) = (𝑀 (𝐿 𝑋)))
9892, 97eqtrd 2655 . . 3 (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 / 𝑘(𝑀 (𝑘 𝑋)) = (𝑀 (𝐿 𝑋)))
9998ad2antll 764 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) → 𝐿 / 𝑘(𝑀 (𝑘 𝑋)) = (𝑀 (𝐿 𝑋)))
10021, 91, 993eqtrd 2659 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝐼‘((𝐿𝐸𝑌) · (𝑇𝑀))) = (𝑀 (𝐿 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3190  csb 3519  ifcif 4064  cmpt 4683  cfv 5857  (class class class)co 6615  Fincfn 7915  0cn0 11252  Basecbs 15800  Scalarcsca 15884   ·𝑠 cvsca 15885  0gc0g 16040   Σg cgsu 16041  Mndcmnd 17234  .gcmg 17480  mulGrpcmgp 18429  Ringcrg 18487  CRingccrg 18488  LModclmod 18803  var1cv1 19486  Poly1cpl1 19487   Mat cmat 20153   matToPolyMat cmat2pmat 20449   decompPMat cdecpmat 20507   pMatToMatPoly cpm2mp 20537
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-ot 4164  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-iin 4495  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-of 6862  df-ofr 6863  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-supp 7256  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-pm 7820  df-ixp 7869  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-fsupp 8236  df-sup 8308  df-oi 8375  df-card 8725  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-z 11338  df-dec 11454  df-uz 11648  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-seq 12758  df-hash 13074  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-sca 15897  df-vsca 15898  df-ip 15899  df-tset 15900  df-ple 15901  df-ds 15904  df-hom 15906  df-cco 15907  df-0g 16042  df-gsum 16043  df-prds 16048  df-pws 16050  df-mre 16186  df-mrc 16187  df-acs 16189  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-mhm 17275  df-submnd 17276  df-grp 17365  df-minusg 17366  df-sbg 17367  df-mulg 17481  df-subg 17531  df-ghm 17598  df-cntz 17690  df-cmn 18135  df-abl 18136  df-mgp 18430  df-ur 18442  df-ring 18489  df-cring 18490  df-subrg 18718  df-lmod 18805  df-lss 18873  df-sra 19112  df-rgmod 19113  df-assa 19252  df-ascl 19254  df-psr 19296  df-mvr 19297  df-mpl 19298  df-opsr 19300  df-psr1 19490  df-vr1 19491  df-ply1 19492  df-coe1 19493  df-dsmm 20016  df-frlm 20031  df-mamu 20130  df-mat 20154  df-mat2pmat 20452  df-decpmat 20508  df-pm2mp 20538
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