MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  monoord2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem monoord2 12769
Description: Ordering relation for a monotonic sequence, decreasing case. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
monoord2.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
monoord2.2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
monoord2.3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘))
Assertion
Ref Expression
monoord2 (𝜑 → (𝐹𝑁) ≤ (𝐹𝑀))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem monoord2
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 monoord2.1 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
2 monoord2.2 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
32renegcld 10402 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → -(𝐹𝑘) ∈ ℝ)
4 eqid 2626 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -(𝐹𝑘)) = (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -(𝐹𝑘))
53, 4fmptd 6341 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -(𝐹𝑘)):(𝑀...𝑁)⟶ℝ)
65ffvelrnda 6316 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -(𝐹𝑘))‘𝑛) ∈ ℝ)
7 monoord2.3 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘))
87ralrimiva 2965 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))(𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘))
9 oveq1 6612 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 + 1) = (𝑛 + 1))
109fveq2d 6154 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑛 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
11 fveq2 6150 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑛 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑛))
1210, 11breq12d 4631 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝐹𝑛)))
1312cbvralv 3164 . . . . . . . 8 (∀𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))(𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘) ↔ ∀𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))(𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝐹𝑛))
148, 13sylib 208 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))(𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝐹𝑛))
1514r19.21bi 2932 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝐹𝑛))
16 fzp1elp1 12333 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)))
1716adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)))
18 eluzelz 11641 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
191, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
2019zcnd 11427 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
21 ax-1cn 9939 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
22 npcan 10235 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
2320, 21, 22sylancl 693 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
2423oveq2d 6621 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) = (𝑀...𝑁))
2524adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) = (𝑀...𝑁))
2617, 25eleqtrd 2706 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
272ralrimiva 2965 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ)
2827adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ)
29 fveq2 6150 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝐹𝑘) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
3029eleq1d 2688 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ))
3130rspcv 3296 . . . . . . . 8 ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ))
3226, 28, 31sylc 65 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
33 fzssp1 12323 . . . . . . . . . 10 (𝑀...(𝑁 − 1)) ⊆ (𝑀...((𝑁 − 1) + 1))
3433, 24syl5sseq 3637 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀...(𝑁 − 1)) ⊆ (𝑀...𝑁))
3534sselda 3588 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁))
3611eleq1d 2688 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝑛) ∈ ℝ))
3736rspcv 3296 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ → (𝐹𝑛) ∈ ℝ))
3835, 28, 37sylc 65 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ)
3932, 38lenegd 10551 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ((𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝐹𝑛) ↔ -(𝐹𝑛) ≤ -(𝐹‘(𝑛 + 1))))
4015, 39mpbid 222 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → -(𝐹𝑛) ≤ -(𝐹‘(𝑛 + 1)))
4111negeqd 10220 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → -(𝐹𝑘) = -(𝐹𝑛))
42 negex 10224 . . . . . . 7 -(𝐹𝑛) ∈ V
4341, 4, 42fvmpt 6240 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -(𝐹𝑘))‘𝑛) = -(𝐹𝑛))
4435, 43syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -(𝐹𝑘))‘𝑛) = -(𝐹𝑛))
4529negeqd 10220 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑛 + 1) → -(𝐹𝑘) = -(𝐹‘(𝑛 + 1)))
46 negex 10224 . . . . . . 7 -(𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ V
4745, 4, 46fvmpt 6240 . . . . . 6 ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -(𝐹𝑘))‘(𝑛 + 1)) = -(𝐹‘(𝑛 + 1)))
4826, 47syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -(𝐹𝑘))‘(𝑛 + 1)) = -(𝐹‘(𝑛 + 1)))
4940, 44, 483brtr4d 4650 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -(𝐹𝑘))‘𝑛) ≤ ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -(𝐹𝑘))‘(𝑛 + 1)))
501, 6, 49monoord 12768 . . 3 (𝜑 → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -(𝐹𝑘))‘𝑀) ≤ ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -(𝐹𝑘))‘𝑁))
51 eluzfz1 12287 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
521, 51syl 17 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
53 fveq2 6150 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑀 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑀))
5453negeqd 10220 . . . . 5 (𝑘 = 𝑀 → -(𝐹𝑘) = -(𝐹𝑀))
55 negex 10224 . . . . 5 -(𝐹𝑀) ∈ V
5654, 4, 55fvmpt 6240 . . . 4 (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -(𝐹𝑘))‘𝑀) = -(𝐹𝑀))
5752, 56syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -(𝐹𝑘))‘𝑀) = -(𝐹𝑀))
58 eluzfz2 12288 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
591, 58syl 17 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
60 fveq2 6150 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑁 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑁))
6160negeqd 10220 . . . . 5 (𝑘 = 𝑁 → -(𝐹𝑘) = -(𝐹𝑁))
62 negex 10224 . . . . 5 -(𝐹𝑁) ∈ V
6361, 4, 62fvmpt 6240 . . . 4 (𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -(𝐹𝑘))‘𝑁) = -(𝐹𝑁))
6459, 63syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -(𝐹𝑘))‘𝑁) = -(𝐹𝑁))
6550, 57, 643brtr3d 4649 . 2 (𝜑 → -(𝐹𝑀) ≤ -(𝐹𝑁))
6660eleq1d 2688 . . . . 5 (𝑘 = 𝑁 → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝑁) ∈ ℝ))
6766rspcv 3296 . . . 4 (𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ → (𝐹𝑁) ∈ ℝ))
6859, 27, 67sylc 65 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ ℝ)
6953eleq1d 2688 . . . . 5 (𝑘 = 𝑀 → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝑀) ∈ ℝ))
7069rspcv 3296 . . . 4 (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ → (𝐹𝑀) ∈ ℝ))
7152, 27, 70sylc 65 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ ℝ)
7268, 71lenegd 10551 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝑁) ≤ (𝐹𝑀) ↔ -(𝐹𝑀) ≤ -(𝐹𝑁)))
7365, 72mpbird 247 1 (𝜑 → (𝐹𝑁) ≤ (𝐹𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  wral 2912   class class class wbr 4618  cmpt 4678  cfv 5850  (class class class)co 6605  cc 9879  cr 9880  1c1 9882   + caddc 9884  cle 10020  cmin 10211  -cneg 10212  cz 11322  cuz 11631  ...cfz 12265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-fz 12266
This theorem is referenced by:  iseraltlem1  14341  climcndslem1  14501  climcndslem2  14502  dvfsumlem3  23690  emcllem7  24623  climinf  39229
  Copyright terms: Public domain W3C validator