Theorem monoord2 13404

Description: Ordering relation for a monotonic sequence, decreasing case. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
monoord2.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
monoord2.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
monoord2.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
monoord2	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ≤ (𝐹‘𝑀))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem monoord2

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		monoord2.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		monoord2.2	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
3	2	renegcld 11070	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → -(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
4	3	fmpttd 6882	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -(𝐹‘𝑘)):(𝑀...𝑁)⟶ℝ)
5	4	ffvelrnda 6854	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑛) ∈ ℝ)
6		monoord2.3	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘))
7	6	ralrimiva 3185	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))(𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘))
8		fvoveq1 7182	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
9		fveq2 6673	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑛))
10	8, 9	breq12d 5082	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑛)))
11	10	cbvralvw 3452	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))(𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ ∀𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))(𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑛))
12	7, 11	sylib 220	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))(𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑛))
13	12	r19.21bi 3211	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑛))
14		fveq2 6673	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
15	14	eleq1d 2900	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ))
16	2	ralrimiva 3185	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
17	16	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
18		fzp1elp1 12963	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)))
19	18	adantl 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)))
20		eluzelz 12256	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
21	1, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
22	21	zcnd 12091	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
23		ax-1cn 10598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
24		npcan 10898	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
25	22, 23, 24	sylancl 588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
26	25	oveq2d 7175	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) = (𝑀...𝑁))
27	26	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) = (𝑀...𝑁))
28	19, 27	eleqtrd 2918	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
29	15, 17, 28	rspcdva 3628	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
30	9	eleq1d 2900	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ))
31		fzssp1 12953	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀...(𝑁 − 1)) ⊆ (𝑀...((𝑁 − 1) + 1))
32	31, 26	sseqtrid 4022	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(𝑁 − 1)) ⊆ (𝑀...𝑁))
33	32	sselda 3970	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁))
34	30, 17, 33	rspcdva 3628	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ)
35	29, 34	lenegd 11222	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ((𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑛) ↔ -(𝐹‘𝑛) ≤ -(𝐹‘(𝑛 + 1))))
36	13, 35	mpbid 234	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → -(𝐹‘𝑛) ≤ -(𝐹‘(𝑛 + 1)))
37	9	negeqd 10883	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → -(𝐹‘𝑘) = -(𝐹‘𝑛))
38		eqid 2824	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -(𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -(𝐹‘𝑘))
39		negex 10887	. . . . . . 7 ⊢ -(𝐹‘𝑛) ∈ V
40	37, 38, 39	fvmpt 6771	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑛) = -(𝐹‘𝑛))
41	33, 40	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑛) = -(𝐹‘𝑛))
42	14	negeqd 10883	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → -(𝐹‘𝑘) = -(𝐹‘(𝑛 + 1)))
43		negex 10887	. . . . . . 7 ⊢ -(𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ V
44	42, 38, 43	fvmpt 6771	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -(𝐹‘𝑘))‘(𝑛 + 1)) = -(𝐹‘(𝑛 + 1)))
45	28, 44	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -(𝐹‘𝑘))‘(𝑛 + 1)) = -(𝐹‘(𝑛 + 1)))
46	36, 41, 45	3brtr4d 5101	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑛) ≤ ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -(𝐹‘𝑘))‘(𝑛 + 1)))
47	1, 5, 46	monoord 13403	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑀) ≤ ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑁))
48		eluzfz1 12917	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
49	1, 48	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
50		fveq2 6673	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑀))
51	50	negeqd 10883	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → -(𝐹‘𝑘) = -(𝐹‘𝑀))
52		negex 10887	. . . . 5 ⊢ -(𝐹‘𝑀) ∈ V
53	51, 38, 52	fvmpt 6771	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑀) = -(𝐹‘𝑀))
54	49, 53	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑀) = -(𝐹‘𝑀))
55		eluzfz2 12918	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
56	1, 55	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
57		fveq2 6673	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑁))
58	57	negeqd 10883	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → -(𝐹‘𝑘) = -(𝐹‘𝑁))
59		negex 10887	. . . . 5 ⊢ -(𝐹‘𝑁) ∈ V
60	58, 38, 59	fvmpt 6771	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑁) = -(𝐹‘𝑁))
61	56, 60	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑁) = -(𝐹‘𝑁))
62	47, 54, 61	3brtr3d 5100	. 2 ⊢ (𝜑 → -(𝐹‘𝑀) ≤ -(𝐹‘𝑁))
63	57	eleq1d 2900	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ))
64	63, 16, 56	rspcdva 3628	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)
65	50	eleq1d 2900	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ))
66	65, 16, 49	rspcdva 3628	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ)
67	64, 66	lenegd 11222	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁) ≤ (𝐹‘𝑀) ↔ -(𝐹‘𝑀) ≤ -(𝐹‘𝑁)))
68	62, 67	mpbird 259	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ≤ (𝐹‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  ∀wral 3141   class class class wbr 5069   ↦ cmpt 5149  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159  ℂcc 10538  ℝcr 10539  1c1 10541   + caddc 10543   ≤ cle 10679   − cmin 10873  -cneg 10874  ℤcz 11984  ℤ_≥cuz 12246  ...cfz 12895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-nn 11642  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896

This theorem is referenced by:  iseraltlem1  15041  climcndslem1  15207  climcndslem2  15208  dvfsumlem3  24628  emcllem7  25582  climinf  41893