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Theorem monoords 40008
Description: Ordering relation for a strictly monotonic sequence, increasing case. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
monoords.fk ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
monoords.flt ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹𝑘) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))
monoords.i (𝜑𝐼 ∈ (𝑀...𝑁))
monoords.j (𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁))
monoords.iltj (𝜑𝐼 < 𝐽)
Assertion
Ref Expression
monoords (𝜑 → (𝐹𝐼) < (𝐹𝐽))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐼   𝑘,𝐽   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem monoords
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 monoords.i . . 3 (𝜑𝐼 ∈ (𝑀...𝑁))
21ancli 575 . . 3 (𝜑 → (𝜑𝐼 ∈ (𝑀...𝑁)))
3 eleq1 2825 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐼 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝐼 ∈ (𝑀...𝑁)))
43anbi2d 742 . . . . 5 (𝑘 = 𝐼 → ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝜑𝐼 ∈ (𝑀...𝑁))))
5 fveq2 6350 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐼 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝐼))
65eleq1d 2822 . . . . 5 (𝑘 = 𝐼 → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝐼) ∈ ℝ))
74, 6imbi12d 333 . . . 4 (𝑘 = 𝐼 → (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝐼 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝐼) ∈ ℝ)))
8 monoords.fk . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
97, 8vtoclg 3404 . . 3 (𝐼 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝜑𝐼 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝐼) ∈ ℝ))
101, 2, 9sylc 65 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐼) ∈ ℝ)
11 elfzel1 12532 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
121, 11syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
13 elfzelz 12533 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐼 ∈ ℤ)
141, 13syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
15 elfzle1 12535 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀𝐼)
161, 15syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑀𝐼)
17 eluz2 11883 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐼))
1812, 14, 16, 17syl3anbrc 1429 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ (ℤ𝑀))
19 elfzuz2 12537 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
201, 19syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
21 eluzelz 11887 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
2220, 21syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
2314zred 11672 . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ ℝ)
24 monoords.j . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁))
25 elfzelz 12533 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐽 ∈ ℤ)
2624, 25syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
2726zred 11672 . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ ℝ)
2822zred 11672 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
29 monoords.iltj . . . . . 6 (𝜑𝐼 < 𝐽)
30 elfzle2 12536 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐽𝑁)
3124, 30syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐽𝑁)
3223, 27, 28, 29, 31ltletrd 10387 . . . . 5 (𝜑𝐼 < 𝑁)
33 elfzo2 12665 . . . . 5 (𝐼 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝐼 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 < 𝑁))
3418, 22, 32, 33syl3anbrc 1429 . . . 4 (𝜑𝐼 ∈ (𝑀..^𝑁))
35 fzofzp1 12757 . . . 4 (𝐼 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝐼 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
3634, 35syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
3736ancli 575 . . 3 (𝜑 → (𝜑 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)))
38 eleq1 2825 . . . . . 6 (𝑘 = (𝐼 + 1) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐼 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)))
3938anbi2d 742 . . . . 5 (𝑘 = (𝐼 + 1) → ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝜑 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))))
40 fveq2 6350 . . . . . 6 (𝑘 = (𝐼 + 1) → (𝐹𝑘) = (𝐹‘(𝐼 + 1)))
4140eleq1d 2822 . . . . 5 (𝑘 = (𝐼 + 1) → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ))
4239, 41imbi12d 333 . . . 4 (𝑘 = (𝐼 + 1) → (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)))
4342, 8vtoclg 3404 . . 3 ((𝐼 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ))
4436, 37, 43sylc 65 . 2 (𝜑 → (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
4524ancli 575 . . 3 (𝜑 → (𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)))
46 eleq1 2825 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐽 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)))
4746anbi2d 742 . . . . 5 (𝑘 = 𝐽 → ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁))))
48 fveq2 6350 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐽 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝐽))
4948eleq1d 2822 . . . . 5 (𝑘 = 𝐽 → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝐽) ∈ ℝ))
5047, 49imbi12d 333 . . . 4 (𝑘 = 𝐽 → (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝐽) ∈ ℝ)))
5150, 8vtoclg 3404 . . 3 (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝐽) ∈ ℝ))
5224, 45, 51sylc 65 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐽) ∈ ℝ)
5334ancli 575 . . 3 (𝜑 → (𝜑𝐼 ∈ (𝑀..^𝑁)))
54 eleq1 2825 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐼 → (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ 𝐼 ∈ (𝑀..^𝑁)))
5554anbi2d 742 . . . . 5 (𝑘 = 𝐼 → ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ↔ (𝜑𝐼 ∈ (𝑀..^𝑁))))
56 oveq1 6818 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐼 → (𝑘 + 1) = (𝐼 + 1))
5756fveq2d 6354 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐼 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝐼 + 1)))
585, 57breq12d 4815 . . . . 5 (𝑘 = 𝐼 → ((𝐹𝑘) < (𝐹‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝐹𝐼) < (𝐹‘(𝐼 + 1))))
5955, 58imbi12d 333 . . . 4 (𝑘 = 𝐼 → (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹𝑘) < (𝐹‘(𝑘 + 1))) ↔ ((𝜑𝐼 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹𝐼) < (𝐹‘(𝐼 + 1)))))
60 monoords.flt . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹𝑘) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))
6159, 60vtoclg 3404 . . 3 (𝐼 ∈ (𝑀..^𝑁) → ((𝜑𝐼 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹𝐼) < (𝐹‘(𝐼 + 1))))
6234, 53, 61sylc 65 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐼) < (𝐹‘(𝐼 + 1)))
6314peano2zd 11675 . . . 4 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ ℤ)
64 zltp1le 11617 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐼 < 𝐽 ↔ (𝐼 + 1) ≤ 𝐽))
6514, 26, 64syl2anc 696 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼 < 𝐽 ↔ (𝐼 + 1) ≤ 𝐽))
6629, 65mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → (𝐼 + 1) ≤ 𝐽)
67 eluz2 11883 . . . 4 (𝐽 ∈ (ℤ‘(𝐼 + 1)) ↔ ((𝐼 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ ∧ (𝐼 + 1) ≤ 𝐽))
6863, 26, 66, 67syl3anbrc 1429 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ (ℤ‘(𝐼 + 1)))
6912adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝑀 ∈ ℤ)
7022adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝑁 ∈ ℤ)
71 elfzelz 12533 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽) → 𝑘 ∈ ℤ)
7271adantl 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝑘 ∈ ℤ)
7369, 70, 723jca 1123 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ))
7469zred 11672 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝑀 ∈ ℝ)
7572zred 11672 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝑘 ∈ ℝ)
7663zred 11672 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
7776adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
7823adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝐼 ∈ ℝ)
7916adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝑀𝐼)
8078ltp1d 11144 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝐼 < (𝐼 + 1))
8174, 78, 77, 79, 80lelttrd 10385 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝑀 < (𝐼 + 1))
82 elfzle1 12535 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽) → (𝐼 + 1) ≤ 𝑘)
8382adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → (𝐼 + 1) ≤ 𝑘)
8474, 77, 75, 81, 83ltletrd 10387 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝑀 < 𝑘)
8574, 75, 84ltled 10375 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝑀𝑘)
8627adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝐽 ∈ ℝ)
8770zred 11672 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝑁 ∈ ℝ)
88 elfzle2 12536 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽) → 𝑘𝐽)
8988adantl 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝑘𝐽)
9031adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝐽𝑁)
9175, 86, 87, 89, 90letrd 10384 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝑘𝑁)
9273, 85, 91jca32 559 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝑘𝑘𝑁)))
93 elfz2 12524 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝑘𝑘𝑁)))
9492, 93sylibr 224 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
9594, 8syldan 488 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
9612adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
9722adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
98 elfzelz 12533 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
9998adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
10096, 97, 993jca 1123 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ))
10196zred 11672 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝑀 ∈ ℝ)
10299zred 11672 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝑘 ∈ ℝ)
10376adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
10412zred 11672 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
10523ltp1d 11144 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐼 < (𝐼 + 1))
106104, 23, 76, 16, 105lelttrd 10385 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 < (𝐼 + 1))
107106adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝑀 < (𝐼 + 1))
108 elfzle1 12535 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1)) → (𝐼 + 1) ≤ 𝑘)
109108adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → (𝐼 + 1) ≤ 𝑘)
110101, 103, 102, 107, 109ltletrd 10387 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝑀 < 𝑘)
111101, 102, 110ltled 10375 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝑀𝑘)
11297zred 11672 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
113 peano2rem 10538 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ ℝ → (𝐽 − 1) ∈ ℝ)
11427, 113syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐽 − 1) ∈ ℝ)
115114adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → (𝐽 − 1) ∈ ℝ)
116 elfzle2 12536 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1)) → 𝑘 ≤ (𝐽 − 1))
117116adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝑘 ≤ (𝐽 − 1))
11827adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝐽 ∈ ℝ)
119118ltm1d 11146 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → (𝐽 − 1) < 𝐽)
12031adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝐽𝑁)
121115, 118, 112, 119, 120ltletrd 10387 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → (𝐽 − 1) < 𝑁)
122102, 115, 112, 117, 121lelttrd 10385 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝑘 < 𝑁)
123102, 112, 122ltled 10375 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝑘𝑁)
124100, 111, 123jca32 559 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝑘𝑘𝑁)))
125124, 93sylibr 224 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
126125, 8syldan 488 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
127 peano2zm 11610 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
12897, 127syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
12996, 128, 993jca 1123 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ))
130128zred 11672 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
131 1red 10245 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
13227, 28, 131, 31lesub1dd 10833 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐽 − 1) ≤ (𝑁 − 1))
133132adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → (𝐽 − 1) ≤ (𝑁 − 1))
134102, 115, 130, 117, 133letrd 10384 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝑘 ≤ (𝑁 − 1))
135129, 111, 134jca32 559 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝑘𝑘 ≤ (𝑁 − 1))))
136 elfz2 12524 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝑘𝑘 ≤ (𝑁 − 1))))
137135, 136sylibr 224 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
138 simpr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
139 fzoval 12663 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
14022, 139syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
141140eqcomd 2764 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀...(𝑁 − 1)) = (𝑀..^𝑁))
142141adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝑀...(𝑁 − 1)) = (𝑀..^𝑁))
143138, 142eleqtrd 2839 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁))
144 fzofzp1 12757 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
145143, 144syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
146 simpl 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝜑)
147146, 145jca 555 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)))
148 eleq1 2825 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)))
149148anbi2d 742 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))))
150 fveq2 6350 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐹𝑗) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
151150eleq1d 2822 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐹𝑗) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ))
152149, 151imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)))
153 eleq1 2825 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)))
154153anbi2d 742 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁))))
155 fveq2 6350 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑗))
156155eleq1d 2822 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝑗) ∈ ℝ))
157154, 156imbi12d 333 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)))
158157, 8chvarv 2406 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
159152, 158vtoclg 3404 . . . . . 6 ((𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ))
160145, 147, 159sylc 65 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
161137, 160syldan 488 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
162143, 60syldan 488 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹𝑘) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))
163137, 162syldan 488 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → (𝐹𝑘) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))
164126, 161, 163ltled 10375 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
16568, 95, 164monoord 13023 . 2 (𝜑 → (𝐹‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝐹𝐽))
16610, 44, 52, 62, 165ltletrd 10387 1 (𝜑 → (𝐹𝐼) < (𝐹𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1630  wcel 2137   class class class wbr 4802  cfv 6047  (class class class)co 6811  cr 10125  1c1 10127   + caddc 10129   < clt 10264  cle 10265  cmin 10456  cz 11567  cuz 11877  ...cfz 12517  ..^cfzo 12657
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202  ax-pre-mulgt0 10203
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-iun 4672  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-om 7229  df-1st 7331  df-2nd 7332  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-er 7909  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-sub 10458  df-neg 10459  df-nn 11211  df-n0 11483  df-z 11568  df-uz 11878  df-fz 12518  df-fzo 12658
This theorem is referenced by:  fourierdlem34  40859
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