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Theorem monotoddzzfi 36321
Description: A function which is odd and monotonic on 0 is monotonic on . This proof is far too long. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
monotoddzzfi.1 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
monotoddzzfi.2 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → (𝐹‘-𝑥) = -(𝐹𝑥))
monotoddzzfi.3 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 < 𝑦 → (𝐹𝑥) < (𝐹𝑦)))
Assertion
Ref Expression
monotoddzzfi ((𝜑𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐹𝐴) < (𝐹𝐵)))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦

Proof of Theorem monotoddzzfi
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6088 . . 3 (𝑎 = 𝑏 → (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏))
2 fveq2 6088 . . 3 (𝑎 = 𝐴 → (𝐹𝑎) = (𝐹𝐴))
3 fveq2 6088 . . 3 (𝑎 = 𝐵 → (𝐹𝑎) = (𝐹𝐵))
4 zssre 11217 . . 3 ℤ ⊆ ℝ
5 eleq1 2675 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑎 → (𝑥 ∈ ℤ ↔ 𝑎 ∈ ℤ))
65anbi2d 735 . . . . 5 (𝑥 = 𝑎 → ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) ↔ (𝜑𝑎 ∈ ℤ)))
7 fveq2 6088 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑎 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑎))
87eleq1d 2671 . . . . 5 (𝑥 = 𝑎 → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝑎) ∈ ℝ))
96, 8imbi12d 332 . . . 4 (𝑥 = 𝑎 → (((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (𝐹𝑎) ∈ ℝ)))
10 monotoddzzfi.1 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
119, 10chvarv 2250 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (𝐹𝑎) ∈ ℝ)
12 elznn 11226 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ ℤ ↔ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∨ -𝑎 ∈ ℕ0)))
1312simprbi 478 . . . . . 6 (𝑎 ∈ ℤ → (𝑎 ∈ ℕ ∨ -𝑎 ∈ ℕ0))
14 elznn 11226 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ ℤ ↔ (𝑏 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∨ -𝑏 ∈ ℕ0)))
1514simprbi 478 . . . . . 6 (𝑏 ∈ ℤ → (𝑏 ∈ ℕ ∨ -𝑏 ∈ ℕ0))
1613, 15anim12i 587 . . . . 5 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((𝑎 ∈ ℕ ∨ -𝑎 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∨ -𝑏 ∈ ℕ0)))
1716adantl 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑎 ∈ ℕ ∨ -𝑎 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∨ -𝑏 ∈ ℕ0)))
18 simpll 785 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) → 𝜑)
19 nnnn0 11146 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ ℕ → 𝑎 ∈ ℕ0)
2019ad2antrl 759 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) → 𝑎 ∈ ℕ0)
21 nnnn0 11146 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ ℕ → 𝑏 ∈ ℕ0)
2221ad2antll 760 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) → 𝑏 ∈ ℕ0)
23 vex 3175 . . . . . . . 8 𝑎 ∈ V
24 vex 3175 . . . . . . . 8 𝑏 ∈ V
25 simpl 471 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 = 𝑎𝑦 = 𝑏) → 𝑥 = 𝑎)
2625eleq1d 2671 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = 𝑎𝑦 = 𝑏) → (𝑥 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ℕ0))
27 simpr 475 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 = 𝑎𝑦 = 𝑏) → 𝑦 = 𝑏)
2827eleq1d 2671 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = 𝑎𝑦 = 𝑏) → (𝑦 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0))
2926, 283anbi23d 1393 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 𝑎𝑦 = 𝑏) → ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ↔ (𝜑𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)))
30 breq12 4582 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = 𝑎𝑦 = 𝑏) → (𝑥 < 𝑦𝑎 < 𝑏))
31 fveq2 6088 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑏 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑏))
327, 31breqan12d 4593 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = 𝑎𝑦 = 𝑏) → ((𝐹𝑥) < (𝐹𝑦) ↔ (𝐹𝑎) < (𝐹𝑏)))
3330, 32imbi12d 332 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 𝑎𝑦 = 𝑏) → ((𝑥 < 𝑦 → (𝐹𝑥) < (𝐹𝑦)) ↔ (𝑎 < 𝑏 → (𝐹𝑎) < (𝐹𝑏))))
3429, 33imbi12d 332 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 𝑎𝑦 = 𝑏) → (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 < 𝑦 → (𝐹𝑥) < (𝐹𝑦))) ↔ ((𝜑𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0) → (𝑎 < 𝑏 → (𝐹𝑎) < (𝐹𝑏)))))
35 monotoddzzfi.3 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 < 𝑦 → (𝐹𝑥) < (𝐹𝑦)))
3623, 24, 34, 35vtocl2 3233 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0) → (𝑎 < 𝑏 → (𝐹𝑎) < (𝐹𝑏)))
3718, 20, 22, 36syl3anc 1317 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) → (𝑎 < 𝑏 → (𝐹𝑎) < (𝐹𝑏)))
3837ex 448 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝑎 < 𝑏 → (𝐹𝑎) < (𝐹𝑏))))
3911adantrr 748 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝐹𝑎) ∈ ℝ)
4039adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑎) ∈ ℝ)
41 0red 9897 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) → 0 ∈ ℝ)
42 eleq1 2675 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑏 → (𝑥 ∈ ℤ ↔ 𝑏 ∈ ℤ))
4342anbi2d 735 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑏 → ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) ↔ (𝜑𝑏 ∈ ℤ)))
44 fveq2 6088 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑏 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑏))
4544eleq1d 2671 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑏 → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝑏) ∈ ℝ))
4643, 45imbi12d 332 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑏 → (((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑏 ∈ ℤ) → (𝐹𝑏) ∈ ℝ)))
4746, 10chvarv 2250 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏 ∈ ℤ) → (𝐹𝑏) ∈ ℝ)
4847adantrl 747 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝐹𝑏) ∈ ℝ)
4948adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑏) ∈ ℝ)
50 0red 9897 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) ∧ -𝑎 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
51 znegcl 11245 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ ℤ → -𝑎 ∈ ℤ)
5251ad2antrl 759 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → -𝑎 ∈ ℤ)
53 negex 10130 . . . . . . . . . . . . . . 15 -𝑎 ∈ V
54 eleq1 2675 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = -𝑎 → (𝑥 ∈ ℤ ↔ -𝑎 ∈ ℤ))
5554anbi2d 735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = -𝑎 → ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ -𝑎 ∈ ℤ)))
56 fveq2 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = -𝑎 → (𝐹𝑥) = (𝐹‘-𝑎))
5756eleq1d 2671 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = -𝑎 → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘-𝑎) ∈ ℝ))
5855, 57imbi12d 332 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = -𝑎 → (((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ -𝑎 ∈ ℤ) → (𝐹‘-𝑎) ∈ ℝ)))
5953, 58, 10vtocl 3231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ -𝑎 ∈ ℤ) → (𝐹‘-𝑎) ∈ ℝ)
6052, 59syldan 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝐹‘-𝑎) ∈ ℝ)
6160ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) ∧ -𝑎 ∈ ℕ) → (𝐹‘-𝑎) ∈ ℝ)
62 0z 11221 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ ℤ
63 c0ex 9890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ∈ V
64 eleq1 2675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 0 → (𝑥 ∈ ℤ ↔ 0 ∈ ℤ))
6564anbi2d 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 0 → ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ 0 ∈ ℤ)))
66 fveq2 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 0 → (𝐹𝑥) = (𝐹‘0))
6766eleq1d 2671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 0 → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘0) ∈ ℝ))
6865, 67imbi12d 332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 0 → (((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝐹‘0) ∈ ℝ)))
6963, 68, 10vtocl 3231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝐹‘0) ∈ ℝ)
7062, 69mpan2 702 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐹‘0) ∈ ℝ)
7170recnd 9924 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐹‘0) ∈ ℂ)
72 neg0 10178 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 -0 = 0
7372fveq2i 6091 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹‘-0) = (𝐹‘0)
74 negeq 10124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 0 → -𝑥 = -0)
7574fveq2d 6092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 0 → (𝐹‘-𝑥) = (𝐹‘-0))
7666negeqd 10126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 0 → -(𝐹𝑥) = -(𝐹‘0))
7775, 76eqeq12d 2624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 0 → ((𝐹‘-𝑥) = -(𝐹𝑥) ↔ (𝐹‘-0) = -(𝐹‘0)))
7865, 77imbi12d 332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 0 → (((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → (𝐹‘-𝑥) = -(𝐹𝑥)) ↔ ((𝜑 ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝐹‘-0) = -(𝐹‘0))))
79 monotoddzzfi.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → (𝐹‘-𝑥) = -(𝐹𝑥))
8063, 78, 79vtocl 3231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝐹‘-0) = -(𝐹‘0))
8162, 80mpan2 702 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐹‘-0) = -(𝐹‘0))
8273, 81syl5eqr 2657 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐹‘0) = -(𝐹‘0))
8371, 82eqnegad 10596 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐹‘0) = 0)
8483adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝐹‘0) = 0)
8584ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) ∧ -𝑎 ∈ ℕ) → (𝐹‘0) = 0)
86 nngt0 10896 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-𝑎 ∈ ℕ → 0 < -𝑎)
8786adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) ∧ -𝑎 ∈ ℕ) → 0 < -𝑎)
88 simplll 793 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) ∧ -𝑎 ∈ ℕ) → 𝜑)
89 0nn0 11154 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℕ0
9089a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) ∧ -𝑎 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℕ0)
91 simplrl 795 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) ∧ -𝑎 ∈ ℕ) → -𝑎 ∈ ℕ0)
92 simpl 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = -𝑎) → 𝑥 = 0)
9392eleq1d 2671 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = -𝑎) → (𝑥 ∈ ℕ0 ↔ 0 ∈ ℕ0))
94 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = -𝑎) → 𝑦 = -𝑎)
9594eleq1d 2671 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = -𝑎) → (𝑦 ∈ ℕ0 ↔ -𝑎 ∈ ℕ0))
9693, 953anbi23d 1393 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = -𝑎) → ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ↔ (𝜑 ∧ 0 ∈ ℕ0 ∧ -𝑎 ∈ ℕ0)))
97 breq12 4582 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = -𝑎) → (𝑥 < 𝑦 ↔ 0 < -𝑎))
9892fveq2d 6092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = -𝑎) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘0))
9994fveq2d 6092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = -𝑎) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘-𝑎))
10098, 99breq12d 4590 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = -𝑎) → ((𝐹𝑥) < (𝐹𝑦) ↔ (𝐹‘0) < (𝐹‘-𝑎)))
10197, 100imbi12d 332 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = -𝑎) → ((𝑥 < 𝑦 → (𝐹𝑥) < (𝐹𝑦)) ↔ (0 < -𝑎 → (𝐹‘0) < (𝐹‘-𝑎))))
10296, 101imbi12d 332 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = -𝑎) → (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 < 𝑦 → (𝐹𝑥) < (𝐹𝑦))) ↔ ((𝜑 ∧ 0 ∈ ℕ0 ∧ -𝑎 ∈ ℕ0) → (0 < -𝑎 → (𝐹‘0) < (𝐹‘-𝑎)))))
10363, 53, 102, 35vtocl2 3233 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ 0 ∈ ℕ0 ∧ -𝑎 ∈ ℕ0) → (0 < -𝑎 → (𝐹‘0) < (𝐹‘-𝑎)))
10488, 90, 91, 103syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) ∧ -𝑎 ∈ ℕ) → (0 < -𝑎 → (𝐹‘0) < (𝐹‘-𝑎)))
10587, 104mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) ∧ -𝑎 ∈ ℕ) → (𝐹‘0) < (𝐹‘-𝑎))
10685, 105eqbrtrrd 4601 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) ∧ -𝑎 ∈ ℕ) → 0 < (𝐹‘-𝑎))
10750, 61, 106ltled 10036 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) ∧ -𝑎 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐹‘-𝑎))
108 0le0 10957 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≤ 0
10984ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) ∧ -𝑎 = 0) → (𝐹‘0) = 0)
110108, 109syl5breqr 4615 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) ∧ -𝑎 = 0) → 0 ≤ (𝐹‘0))
111 fveq2 6088 . . . . . . . . . . . . . 14 (-𝑎 = 0 → (𝐹‘-𝑎) = (𝐹‘0))
112111breq2d 4589 . . . . . . . . . . . . 13 (-𝑎 = 0 → (0 ≤ (𝐹‘-𝑎) ↔ 0 ≤ (𝐹‘0)))
113112adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) ∧ -𝑎 = 0) → (0 ≤ (𝐹‘-𝑎) ↔ 0 ≤ (𝐹‘0)))
114110, 113mpbird 245 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) ∧ -𝑎 = 0) → 0 ≤ (𝐹‘-𝑎))
115 elnn0 11141 . . . . . . . . . . . . 13 (-𝑎 ∈ ℕ0 ↔ (-𝑎 ∈ ℕ ∨ -𝑎 = 0))
116115biimpi 204 . . . . . . . . . . . 12 (-𝑎 ∈ ℕ0 → (-𝑎 ∈ ℕ ∨ -𝑎 = 0))
117116ad2antrl 759 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) → (-𝑎 ∈ ℕ ∨ -𝑎 = 0))
118107, 114, 117mpjaodan 822 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) → 0 ≤ (𝐹‘-𝑎))
119 negeq 10124 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑎 → -𝑥 = -𝑎)
120119fveq2d 6092 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑎 → (𝐹‘-𝑥) = (𝐹‘-𝑎))
1217negeqd 10126 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑎 → -(𝐹𝑥) = -(𝐹𝑎))
122120, 121eqeq12d 2624 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑎 → ((𝐹‘-𝑥) = -(𝐹𝑥) ↔ (𝐹‘-𝑎) = -(𝐹𝑎)))
1236, 122imbi12d 332 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑎 → (((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → (𝐹‘-𝑥) = -(𝐹𝑥)) ↔ ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (𝐹‘-𝑎) = -(𝐹𝑎))))
124123, 79chvarv 2250 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (𝐹‘-𝑎) = -(𝐹𝑎))
125124adantrr 748 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝐹‘-𝑎) = -(𝐹𝑎))
126125adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) → (𝐹‘-𝑎) = -(𝐹𝑎))
127118, 126breqtrd 4603 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) → 0 ≤ -(𝐹𝑎))
12840le0neg1d 10448 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) → ((𝐹𝑎) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -(𝐹𝑎)))
129127, 128mpbird 245 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑎) ≤ 0)
13084adantr 479 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) → (𝐹‘0) = 0)
131 nngt0 10896 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ ℕ → 0 < 𝑏)
132131ad2antll 760 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) → 0 < 𝑏)
133 simpll 785 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) → 𝜑)
13489a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) → 0 ∈ ℕ0)
13521ad2antll 760 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) → 𝑏 ∈ ℕ0)
136 simpl 471 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑏) → 𝑥 = 0)
137136eleq1d 2671 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑏) → (𝑥 ∈ ℕ0 ↔ 0 ∈ ℕ0))
138 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑏) → 𝑦 = 𝑏)
139138eleq1d 2671 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑏) → (𝑦 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0))
140137, 1393anbi23d 1393 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑏) → ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ↔ (𝜑 ∧ 0 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)))
141 breq12 4582 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑏) → (𝑥 < 𝑦 ↔ 0 < 𝑏))
14266, 31breqan12d 4593 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑏) → ((𝐹𝑥) < (𝐹𝑦) ↔ (𝐹‘0) < (𝐹𝑏)))
143141, 142imbi12d 332 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑏) → ((𝑥 < 𝑦 → (𝐹𝑥) < (𝐹𝑦)) ↔ (0 < 𝑏 → (𝐹‘0) < (𝐹𝑏))))
144140, 143imbi12d 332 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑏) → (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 < 𝑦 → (𝐹𝑥) < (𝐹𝑦))) ↔ ((𝜑 ∧ 0 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0) → (0 < 𝑏 → (𝐹‘0) < (𝐹𝑏)))))
14563, 24, 144, 35vtocl2 3233 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0) → (0 < 𝑏 → (𝐹‘0) < (𝐹𝑏)))
146133, 134, 135, 145syl3anc 1317 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) → (0 < 𝑏 → (𝐹‘0) < (𝐹𝑏)))
147132, 146mpd 15 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) → (𝐹‘0) < (𝐹𝑏))
148130, 147eqbrtrrd 4601 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) → 0 < (𝐹𝑏))
14940, 41, 49, 129, 148lelttrd 10046 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑎) < (𝐹𝑏))
150149a1d 25 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) → (𝑎 < 𝑏 → (𝐹𝑎) < (𝐹𝑏)))
151150ex 448 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ) → (𝑎 < 𝑏 → (𝐹𝑎) < (𝐹𝑏))))
152 simp3 1055 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ -𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑎 < 𝑏)
153 zre 11214 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℝ)
154153adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈ ℝ)
155154ad2antlr 758 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ -𝑏 ∈ ℕ0)) → 𝑏 ∈ ℝ)
156 1red 9911 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ -𝑏 ∈ ℕ0)) → 1 ∈ ℝ)
157 nnre 10874 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ ℕ → 𝑎 ∈ ℝ)
158157ad2antrl 759 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ -𝑏 ∈ ℕ0)) → 𝑎 ∈ ℝ)
159 0red 9897 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ -𝑏 ∈ ℕ0)) → 0 ∈ ℝ)
160 nn0ge0 11165 . . . . . . . . . . . . 13 (-𝑏 ∈ ℕ0 → 0 ≤ -𝑏)
161160ad2antll 760 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ -𝑏 ∈ ℕ0)) → 0 ≤ -𝑏)
162155le0neg1d 10448 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ -𝑏 ∈ ℕ0)) → (𝑏 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝑏))
163161, 162mpbird 245 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ -𝑏 ∈ ℕ0)) → 𝑏 ≤ 0)
164 0le1 10400 . . . . . . . . . . . 12 0 ≤ 1
165164a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ -𝑏 ∈ ℕ0)) → 0 ≤ 1)
166155, 159, 156, 163, 165letrd 10045 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ -𝑏 ∈ ℕ0)) → 𝑏 ≤ 1)
167 nnge1 10893 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑎)
168167ad2antrl 759 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ -𝑏 ∈ ℕ0)) → 1 ≤ 𝑎)
169155, 156, 158, 166, 168letrd 10045 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ -𝑏 ∈ ℕ0)) → 𝑏𝑎)
170155, 158lenltd 10034 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ -𝑏 ∈ ℕ0)) → (𝑏𝑎 ↔ ¬ 𝑎 < 𝑏))
171169, 170mpbid 220 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ -𝑏 ∈ ℕ0)) → ¬ 𝑎 < 𝑏)
1721713adant3 1073 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ -𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 < 𝑏) → ¬ 𝑎 < 𝑏)
173152, 172pm2.21dd 184 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ -𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (𝐹𝑎) < (𝐹𝑏))
1741733exp 1255 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑎 ∈ ℕ ∧ -𝑏 ∈ ℕ0) → (𝑎 < 𝑏 → (𝐹𝑎) < (𝐹𝑏))))
175 negex 10130 . . . . . . . . . . . 12 -𝑏 ∈ V
176 simpl 471 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 = -𝑏𝑦 = -𝑎) → 𝑥 = -𝑏)
177176eleq1d 2671 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 = -𝑏𝑦 = -𝑎) → (𝑥 ∈ ℕ0 ↔ -𝑏 ∈ ℕ0))
178 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 = -𝑏𝑦 = -𝑎) → 𝑦 = -𝑎)
179178eleq1d 2671 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 = -𝑏𝑦 = -𝑎) → (𝑦 ∈ ℕ0 ↔ -𝑎 ∈ ℕ0))
180177, 1793anbi23d 1393 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 = -𝑏𝑦 = -𝑎) → ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ↔ (𝜑 ∧ -𝑏 ∈ ℕ0 ∧ -𝑎 ∈ ℕ0)))
181 breq12 4582 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 = -𝑏𝑦 = -𝑎) → (𝑥 < 𝑦 ↔ -𝑏 < -𝑎))
182 fveq2 6088 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = -𝑏 → (𝐹𝑥) = (𝐹‘-𝑏))
183 fveq2 6088 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = -𝑎 → (𝐹𝑦) = (𝐹‘-𝑎))
184182, 183breqan12d 4593 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 = -𝑏𝑦 = -𝑎) → ((𝐹𝑥) < (𝐹𝑦) ↔ (𝐹‘-𝑏) < (𝐹‘-𝑎)))
185181, 184imbi12d 332 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 = -𝑏𝑦 = -𝑎) → ((𝑥 < 𝑦 → (𝐹𝑥) < (𝐹𝑦)) ↔ (-𝑏 < -𝑎 → (𝐹‘-𝑏) < (𝐹‘-𝑎))))
186180, 185imbi12d 332 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 = -𝑏𝑦 = -𝑎) → (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 < 𝑦 → (𝐹𝑥) < (𝐹𝑦))) ↔ ((𝜑 ∧ -𝑏 ∈ ℕ0 ∧ -𝑎 ∈ ℕ0) → (-𝑏 < -𝑎 → (𝐹‘-𝑏) < (𝐹‘-𝑎)))))
187175, 53, 186, 35vtocl2 3233 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ -𝑏 ∈ ℕ0 ∧ -𝑎 ∈ ℕ0) → (-𝑏 < -𝑎 → (𝐹‘-𝑏) < (𝐹‘-𝑎)))
1881873com23 1262 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ -𝑎 ∈ ℕ0 ∧ -𝑏 ∈ ℕ0) → (-𝑏 < -𝑎 → (𝐹‘-𝑏) < (𝐹‘-𝑎)))
1891883expb 1257 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0 ∧ -𝑏 ∈ ℕ0)) → (-𝑏 < -𝑎 → (𝐹‘-𝑏) < (𝐹‘-𝑎)))
190189adantlr 746 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0 ∧ -𝑏 ∈ ℕ0)) → (-𝑏 < -𝑎 → (𝐹‘-𝑏) < (𝐹‘-𝑎)))
191 negeq 10124 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑏 → -𝑥 = -𝑏)
192191fveq2d 6092 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑏 → (𝐹‘-𝑥) = (𝐹‘-𝑏))
19344negeqd 10126 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑏 → -(𝐹𝑥) = -(𝐹𝑏))
194192, 193eqeq12d 2624 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑏 → ((𝐹‘-𝑥) = -(𝐹𝑥) ↔ (𝐹‘-𝑏) = -(𝐹𝑏)))
19543, 194imbi12d 332 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑏 → (((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → (𝐹‘-𝑥) = -(𝐹𝑥)) ↔ ((𝜑𝑏 ∈ ℤ) → (𝐹‘-𝑏) = -(𝐹𝑏))))
196195, 79chvarv 2250 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑏 ∈ ℤ) → (𝐹‘-𝑏) = -(𝐹𝑏))
197196adantrl 747 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝐹‘-𝑏) = -(𝐹𝑏))
198197adantr 479 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0 ∧ -𝑏 ∈ ℕ0)) → (𝐹‘-𝑏) = -(𝐹𝑏))
199125adantr 479 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0 ∧ -𝑏 ∈ ℕ0)) → (𝐹‘-𝑎) = -(𝐹𝑎))
200198, 199breq12d 4590 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0 ∧ -𝑏 ∈ ℕ0)) → ((𝐹‘-𝑏) < (𝐹‘-𝑎) ↔ -(𝐹𝑏) < -(𝐹𝑎)))
201190, 200sylibd 227 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0 ∧ -𝑏 ∈ ℕ0)) → (-𝑏 < -𝑎 → -(𝐹𝑏) < -(𝐹𝑎)))
202 zre 11214 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℝ)
203202ad2antrl 759 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℝ)
204203adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0 ∧ -𝑏 ∈ ℕ0)) → 𝑎 ∈ ℝ)
205154ad2antlr 758 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0 ∧ -𝑏 ∈ ℕ0)) → 𝑏 ∈ ℝ)
206204, 205ltnegd 10454 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0 ∧ -𝑏 ∈ ℕ0)) → (𝑎 < 𝑏 ↔ -𝑏 < -𝑎))
20739adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0 ∧ -𝑏 ∈ ℕ0)) → (𝐹𝑎) ∈ ℝ)
20848adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0 ∧ -𝑏 ∈ ℕ0)) → (𝐹𝑏) ∈ ℝ)
209207, 208ltnegd 10454 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0 ∧ -𝑏 ∈ ℕ0)) → ((𝐹𝑎) < (𝐹𝑏) ↔ -(𝐹𝑏) < -(𝐹𝑎)))
210201, 206, 2093imtr4d 281 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0 ∧ -𝑏 ∈ ℕ0)) → (𝑎 < 𝑏 → (𝐹𝑎) < (𝐹𝑏)))
211210ex 448 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((-𝑎 ∈ ℕ0 ∧ -𝑏 ∈ ℕ0) → (𝑎 < 𝑏 → (𝐹𝑎) < (𝐹𝑏))))
21238, 151, 174, 211ccased 984 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑎 ∈ ℕ ∨ -𝑎 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∨ -𝑏 ∈ ℕ0)) → (𝑎 < 𝑏 → (𝐹𝑎) < (𝐹𝑏))))
21317, 212mpd 15 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 < 𝑏 → (𝐹𝑎) < (𝐹𝑏)))
2141, 2, 3, 4, 11, 213ltord1 10403 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐹𝐴) < (𝐹𝐵)))
2152143impb 1251 1 ((𝜑𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐹𝐴) < (𝐹𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wo 381  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976   class class class wbr 4577  cfv 5790  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   < clt 9930  cle 9931  -cneg 10118  cn 10867  0cn0 11139  cz 11210
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-n0 11140  df-z 11211
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