Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  monotuz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem monotuz 36414
Description: A function defined on an upper set of integers which increases at every adjacent pair is globally strictly monotonic by induction. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
monotuz.1 ((𝜑𝑦𝐻) → 𝐹 < 𝐺)
monotuz.2 ((𝜑𝑥𝐻) → 𝐶 ∈ ℝ)
monotuz.3 𝐻 = (ℤ𝐼)
monotuz.4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → 𝐶 = 𝐺)
monotuz.5 (𝑥 = 𝑦𝐶 = 𝐹)
monotuz.6 (𝑥 = 𝐴𝐶 = 𝐷)
monotuz.7 (𝑥 = 𝐵𝐶 = 𝐸)
Assertion
Ref Expression
monotuz ((𝜑 ∧ (𝐴𝐻𝐵𝐻)) → (𝐴 < 𝐵𝐷 < 𝐸))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑦,𝐶   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐸,𝑦   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐻,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑦)   𝐺(𝑦)   𝐼(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem monotuz
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 csbeq1 3406 . . 3 (𝑎 = 𝑏𝑎 / 𝑥𝐶 = 𝑏 / 𝑥𝐶)
2 csbeq1 3406 . . 3 (𝑎 = 𝐴𝑎 / 𝑥𝐶 = 𝐴 / 𝑥𝐶)
3 csbeq1 3406 . . 3 (𝑎 = 𝐵𝑎 / 𝑥𝐶 = 𝐵 / 𝑥𝐶)
4 monotuz.3 . . . 4 𝐻 = (ℤ𝐼)
5 uzssz 11447 . . . . 5 (ℤ𝐼) ⊆ ℤ
6 zssre 11125 . . . . 5 ℤ ⊆ ℝ
75, 6sstri 3481 . . . 4 (ℤ𝐼) ⊆ ℝ
84, 7eqsstri 3502 . . 3 𝐻 ⊆ ℝ
9 nfv 1796 . . . . 5 𝑥(𝜑𝑎𝐻)
10 nfcsb1v 3419 . . . . . 6 𝑥𝑎 / 𝑥𝐶
1110nfel1 2669 . . . . 5 𝑥𝑎 / 𝑥𝐶 ∈ ℝ
129, 11nfim 2051 . . . 4 𝑥((𝜑𝑎𝐻) → 𝑎 / 𝑥𝐶 ∈ ℝ)
13 eleq1 2580 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑎 → (𝑥𝐻𝑎𝐻))
1413anbi2d 735 . . . . 5 (𝑥 = 𝑎 → ((𝜑𝑥𝐻) ↔ (𝜑𝑎𝐻)))
15 csbeq1a 3412 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑎𝐶 = 𝑎 / 𝑥𝐶)
1615eleq1d 2576 . . . . 5 (𝑥 = 𝑎 → (𝐶 ∈ ℝ ↔ 𝑎 / 𝑥𝐶 ∈ ℝ))
1714, 16imbi12d 332 . . . 4 (𝑥 = 𝑎 → (((𝜑𝑥𝐻) → 𝐶 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑎𝐻) → 𝑎 / 𝑥𝐶 ∈ ℝ)))
18 monotuz.2 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐻) → 𝐶 ∈ ℝ)
1912, 17, 18chvar 2153 . . 3 ((𝜑𝑎𝐻) → 𝑎 / 𝑥𝐶 ∈ ℝ)
20 simpl 471 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (𝜑𝑎𝐻))
2120adantlrr 752 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐻𝑏𝐻)) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (𝜑𝑎𝐻))
224, 5eqsstri 3502 . . . . . . 7 𝐻 ⊆ ℤ
23 simplrl 795 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐻𝑏𝐻)) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑎𝐻)
2422, 23sseldi 3470 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐻𝑏𝐻)) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑎 ∈ ℤ)
25 simplrr 796 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐻𝑏𝐻)) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑏𝐻)
2622, 25sseldi 3470 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐻𝑏𝐻)) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑏 ∈ ℤ)
27 simpr 475 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐻𝑏𝐻)) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑎 < 𝑏)
28 csbeq1 3406 . . . . . . . . 9 (𝑐 = (𝑎 + 1) → 𝑐 / 𝑥𝐶 = (𝑎 + 1) / 𝑥𝐶)
2928breq2d 4493 . . . . . . . 8 (𝑐 = (𝑎 + 1) → (𝑎 / 𝑥𝐶 < 𝑐 / 𝑥𝐶𝑎 / 𝑥𝐶 < (𝑎 + 1) / 𝑥𝐶))
3029imbi2d 328 . . . . . . 7 (𝑐 = (𝑎 + 1) → (((𝜑𝑎𝐻) → 𝑎 / 𝑥𝐶 < 𝑐 / 𝑥𝐶) ↔ ((𝜑𝑎𝐻) → 𝑎 / 𝑥𝐶 < (𝑎 + 1) / 𝑥𝐶)))
31 csbeq1 3406 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑑𝑐 / 𝑥𝐶 = 𝑑 / 𝑥𝐶)
3231breq2d 4493 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑑 → (𝑎 / 𝑥𝐶 < 𝑐 / 𝑥𝐶𝑎 / 𝑥𝐶 < 𝑑 / 𝑥𝐶))
3332imbi2d 328 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑑 → (((𝜑𝑎𝐻) → 𝑎 / 𝑥𝐶 < 𝑐 / 𝑥𝐶) ↔ ((𝜑𝑎𝐻) → 𝑎 / 𝑥𝐶 < 𝑑 / 𝑥𝐶)))
34 csbeq1 3406 . . . . . . . . 9 (𝑐 = (𝑑 + 1) → 𝑐 / 𝑥𝐶 = (𝑑 + 1) / 𝑥𝐶)
3534breq2d 4493 . . . . . . . 8 (𝑐 = (𝑑 + 1) → (𝑎 / 𝑥𝐶 < 𝑐 / 𝑥𝐶𝑎 / 𝑥𝐶 < (𝑑 + 1) / 𝑥𝐶))
3635imbi2d 328 . . . . . . 7 (𝑐 = (𝑑 + 1) → (((𝜑𝑎𝐻) → 𝑎 / 𝑥𝐶 < 𝑐 / 𝑥𝐶) ↔ ((𝜑𝑎𝐻) → 𝑎 / 𝑥𝐶 < (𝑑 + 1) / 𝑥𝐶)))
37 csbeq1 3406 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑏𝑐 / 𝑥𝐶 = 𝑏 / 𝑥𝐶)
3837breq2d 4493 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑏 → (𝑎 / 𝑥𝐶 < 𝑐 / 𝑥𝐶𝑎 / 𝑥𝐶 < 𝑏 / 𝑥𝐶))
3938imbi2d 328 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑏 → (((𝜑𝑎𝐻) → 𝑎 / 𝑥𝐶 < 𝑐 / 𝑥𝐶) ↔ ((𝜑𝑎𝐻) → 𝑎 / 𝑥𝐶 < 𝑏 / 𝑥𝐶)))
40 eleq1 2580 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑎 → (𝑦𝐻𝑎𝐻))
4140anbi2d 735 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑎 → ((𝜑𝑦𝐻) ↔ (𝜑𝑎𝐻)))
42 vex 3080 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 ∈ V
43 monotuz.5 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦𝐶 = 𝐹)
4442, 43csbie 3429 . . . . . . . . . . 11 𝑦 / 𝑥𝐶 = 𝐹
45 csbeq1 3406 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑎𝑦 / 𝑥𝐶 = 𝑎 / 𝑥𝐶)
4644, 45syl5eqr 2562 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑎𝐹 = 𝑎 / 𝑥𝐶)
47 ovex 6454 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 + 1) ∈ V
48 monotuz.4 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑦 + 1) → 𝐶 = 𝐺)
4947, 48csbie 3429 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 + 1) / 𝑥𝐶 = 𝐺
50 oveq1 6433 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑎 → (𝑦 + 1) = (𝑎 + 1))
5150csbeq1d 3410 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑎(𝑦 + 1) / 𝑥𝐶 = (𝑎 + 1) / 𝑥𝐶)
5249, 51syl5eqr 2562 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑎𝐺 = (𝑎 + 1) / 𝑥𝐶)
5346, 52breq12d 4494 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑎 → (𝐹 < 𝐺𝑎 / 𝑥𝐶 < (𝑎 + 1) / 𝑥𝐶))
5441, 53imbi12d 332 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑎 → (((𝜑𝑦𝐻) → 𝐹 < 𝐺) ↔ ((𝜑𝑎𝐻) → 𝑎 / 𝑥𝐶 < (𝑎 + 1) / 𝑥𝐶)))
55 monotuz.1 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐻) → 𝐹 < 𝐺)
5654, 55vtoclg 3143 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ ℤ → ((𝜑𝑎𝐻) → 𝑎 / 𝑥𝐶 < (𝑎 + 1) / 𝑥𝐶))
57193ad2ant2 1075 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ ∧ 𝑎 < 𝑑) ∧ (𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑎 / 𝑥𝐶 < 𝑑 / 𝑥𝐶) → 𝑎 / 𝑥𝐶 ∈ ℝ)
58 simp2l 1079 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ ∧ 𝑎 < 𝑑) ∧ (𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑎 / 𝑥𝐶 < 𝑑 / 𝑥𝐶) → 𝜑)
59 zre 11122 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℝ)
60593ad2ant1 1074 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ ∧ 𝑎 < 𝑑) → 𝑎 ∈ ℝ)
61 zre 11122 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 ∈ ℤ → 𝑑 ∈ ℝ)
62613ad2ant2 1075 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ ∧ 𝑎 < 𝑑) → 𝑑 ∈ ℝ)
63 simp3 1055 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ ∧ 𝑎 < 𝑑) → 𝑎 < 𝑑)
6460, 62, 63ltled 9936 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ ∧ 𝑎 < 𝑑) → 𝑎𝑑)
65643ad2ant1 1074 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ ∧ 𝑎 < 𝑑) ∧ (𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑎 / 𝑥𝐶 < 𝑑 / 𝑥𝐶) → 𝑎𝑑)
66 simp11 1083 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ ∧ 𝑎 < 𝑑) ∧ (𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑎 / 𝑥𝐶 < 𝑑 / 𝑥𝐶) → 𝑎 ∈ ℤ)
67 simp12 1084 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ ∧ 𝑎 < 𝑑) ∧ (𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑎 / 𝑥𝐶 < 𝑑 / 𝑥𝐶) → 𝑑 ∈ ℤ)
68 eluz 11441 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → (𝑑 ∈ (ℤ𝑎) ↔ 𝑎𝑑))
6966, 67, 68syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ ∧ 𝑎 < 𝑑) ∧ (𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑎 / 𝑥𝐶 < 𝑑 / 𝑥𝐶) → (𝑑 ∈ (ℤ𝑎) ↔ 𝑎𝑑))
7065, 69mpbird 245 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ ∧ 𝑎 < 𝑑) ∧ (𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑎 / 𝑥𝐶 < 𝑑 / 𝑥𝐶) → 𝑑 ∈ (ℤ𝑎))
71 simp2r 1080 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ ∧ 𝑎 < 𝑑) ∧ (𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑎 / 𝑥𝐶 < 𝑑 / 𝑥𝐶) → 𝑎𝐻)
7271, 4syl6eleq 2602 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ ∧ 𝑎 < 𝑑) ∧ (𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑎 / 𝑥𝐶 < 𝑑 / 𝑥𝐶) → 𝑎 ∈ (ℤ𝐼))
73 uztrn 11444 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑑 ∈ (ℤ𝑎) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ𝐼)) → 𝑑 ∈ (ℤ𝐼))
7470, 72, 73syl2anc 690 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ ∧ 𝑎 < 𝑑) ∧ (𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑎 / 𝑥𝐶 < 𝑑 / 𝑥𝐶) → 𝑑 ∈ (ℤ𝐼))
7574, 4syl6eleqr 2603 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ ∧ 𝑎 < 𝑑) ∧ (𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑎 / 𝑥𝐶 < 𝑑 / 𝑥𝐶) → 𝑑𝐻)
76 nfv 1796 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(𝜑𝑑𝐻)
77 nfcsb1v 3419 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝑑 / 𝑥𝐶
7877nfel1 2669 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝑑 / 𝑥𝐶 ∈ ℝ
7976, 78nfim 2051 . . . . . . . . . . . 12 𝑥((𝜑𝑑𝐻) → 𝑑 / 𝑥𝐶 ∈ ℝ)
80 eleq1 2580 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑑 → (𝑥𝐻𝑑𝐻))
8180anbi2d 735 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑑 → ((𝜑𝑥𝐻) ↔ (𝜑𝑑𝐻)))
82 csbeq1a 3412 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑑𝐶 = 𝑑 / 𝑥𝐶)
8382eleq1d 2576 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑑 → (𝐶 ∈ ℝ ↔ 𝑑 / 𝑥𝐶 ∈ ℝ))
8481, 83imbi12d 332 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑑 → (((𝜑𝑥𝐻) → 𝐶 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑑𝐻) → 𝑑 / 𝑥𝐶 ∈ ℝ)))
8579, 84, 18chvar 2153 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑑𝐻) → 𝑑 / 𝑥𝐶 ∈ ℝ)
8658, 75, 85syl2anc 690 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ ∧ 𝑎 < 𝑑) ∧ (𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑎 / 𝑥𝐶 < 𝑑 / 𝑥𝐶) → 𝑑 / 𝑥𝐶 ∈ ℝ)
87 peano2uz 11481 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 ∈ (ℤ𝐼) → (𝑑 + 1) ∈ (ℤ𝐼))
8874, 87syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ ∧ 𝑎 < 𝑑) ∧ (𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑎 / 𝑥𝐶 < 𝑑 / 𝑥𝐶) → (𝑑 + 1) ∈ (ℤ𝐼))
8988, 4syl6eleqr 2603 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ ∧ 𝑎 < 𝑑) ∧ (𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑎 / 𝑥𝐶 < 𝑑 / 𝑥𝐶) → (𝑑 + 1) ∈ 𝐻)
90 nfv 1796 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(𝜑 ∧ (𝑑 + 1) ∈ 𝐻)
91 nfcsb1v 3419 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥(𝑑 + 1) / 𝑥𝐶
9291nfel1 2669 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(𝑑 + 1) / 𝑥𝐶 ∈ ℝ
9390, 92nfim 2051 . . . . . . . . . . . 12 𝑥((𝜑 ∧ (𝑑 + 1) ∈ 𝐻) → (𝑑 + 1) / 𝑥𝐶 ∈ ℝ)
94 ovex 6454 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 + 1) ∈ V
95 eleq1 2580 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑑 + 1) → (𝑥𝐻 ↔ (𝑑 + 1) ∈ 𝐻))
9695anbi2d 735 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑑 + 1) → ((𝜑𝑥𝐻) ↔ (𝜑 ∧ (𝑑 + 1) ∈ 𝐻)))
97 csbeq1a 3412 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑑 + 1) → 𝐶 = (𝑑 + 1) / 𝑥𝐶)
9897eleq1d 2576 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑑 + 1) → (𝐶 ∈ ℝ ↔ (𝑑 + 1) / 𝑥𝐶 ∈ ℝ))
9996, 98imbi12d 332 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑑 + 1) → (((𝜑𝑥𝐻) → 𝐶 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑑 + 1) ∈ 𝐻) → (𝑑 + 1) / 𝑥𝐶 ∈ ℝ)))
10093, 94, 99, 18vtoclf 3135 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑑 + 1) ∈ 𝐻) → (𝑑 + 1) / 𝑥𝐶 ∈ ℝ)
10158, 89, 100syl2anc 690 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ ∧ 𝑎 < 𝑑) ∧ (𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑎 / 𝑥𝐶 < 𝑑 / 𝑥𝐶) → (𝑑 + 1) / 𝑥𝐶 ∈ ℝ)
102 simp3 1055 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ ∧ 𝑎 < 𝑑) ∧ (𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑎 / 𝑥𝐶 < 𝑑 / 𝑥𝐶) → 𝑎 / 𝑥𝐶 < 𝑑 / 𝑥𝐶)
103 nfv 1796 . . . . . . . . . . . 12 𝑦((𝜑𝑑𝐻) → 𝑑 / 𝑥𝐶 < (𝑑 + 1) / 𝑥𝐶)
104 eleq1 2580 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑑 → (𝑦𝐻𝑑𝐻))
105104anbi2d 735 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑑 → ((𝜑𝑦𝐻) ↔ (𝜑𝑑𝐻)))
106 csbeq1 3406 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑑𝑦 / 𝑥𝐶 = 𝑑 / 𝑥𝐶)
10744, 106syl5eqr 2562 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑑𝐹 = 𝑑 / 𝑥𝐶)
108 oveq1 6433 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑑 → (𝑦 + 1) = (𝑑 + 1))
109108csbeq1d 3410 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑑(𝑦 + 1) / 𝑥𝐶 = (𝑑 + 1) / 𝑥𝐶)
11049, 109syl5eqr 2562 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑑𝐺 = (𝑑 + 1) / 𝑥𝐶)
111107, 110breq12d 4494 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑑 → (𝐹 < 𝐺𝑑 / 𝑥𝐶 < (𝑑 + 1) / 𝑥𝐶))
112105, 111imbi12d 332 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑑 → (((𝜑𝑦𝐻) → 𝐹 < 𝐺) ↔ ((𝜑𝑑𝐻) → 𝑑 / 𝑥𝐶 < (𝑑 + 1) / 𝑥𝐶)))
113103, 112, 55chvar 2153 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑑𝐻) → 𝑑 / 𝑥𝐶 < (𝑑 + 1) / 𝑥𝐶)
11458, 75, 113syl2anc 690 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ ∧ 𝑎 < 𝑑) ∧ (𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑎 / 𝑥𝐶 < 𝑑 / 𝑥𝐶) → 𝑑 / 𝑥𝐶 < (𝑑 + 1) / 𝑥𝐶)
11557, 86, 101, 102, 114lttrd 9949 . . . . . . . . 9 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ ∧ 𝑎 < 𝑑) ∧ (𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑎 / 𝑥𝐶 < 𝑑 / 𝑥𝐶) → 𝑎 / 𝑥𝐶 < (𝑑 + 1) / 𝑥𝐶)
1161153exp 1255 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ ∧ 𝑎 < 𝑑) → ((𝜑𝑎𝐻) → (𝑎 / 𝑥𝐶 < 𝑑 / 𝑥𝐶𝑎 / 𝑥𝐶 < (𝑑 + 1) / 𝑥𝐶)))
117116a2d 29 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ ∧ 𝑎 < 𝑑) → (((𝜑𝑎𝐻) → 𝑎 / 𝑥𝐶 < 𝑑 / 𝑥𝐶) → ((𝜑𝑎𝐻) → 𝑎 / 𝑥𝐶 < (𝑑 + 1) / 𝑥𝐶)))
11830, 33, 36, 39, 56, 117uzind2 11210 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 < 𝑏) → ((𝜑𝑎𝐻) → 𝑎 / 𝑥𝐶 < 𝑏 / 𝑥𝐶))
11924, 26, 27, 118syl3anc 1317 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐻𝑏𝐻)) ∧ 𝑎 < 𝑏) → ((𝜑𝑎𝐻) → 𝑎 / 𝑥𝐶 < 𝑏 / 𝑥𝐶))
12021, 119mpd 15 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐻𝑏𝐻)) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑎 / 𝑥𝐶 < 𝑏 / 𝑥𝐶)
121120ex 448 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐻𝑏𝐻)) → (𝑎 < 𝑏𝑎 / 𝑥𝐶 < 𝑏 / 𝑥𝐶))
1221, 2, 3, 8, 19, 121ltord1 10303 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐻𝐵𝐻)) → (𝐴 < 𝐵𝐴 / 𝑥𝐶 < 𝐵 / 𝑥𝐶))
123 nfcvd 2656 . . . . 5 (𝐴𝐻𝑥𝐷)
124 monotuz.6 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴𝐶 = 𝐷)
125123, 124csbiegf 3427 . . . 4 (𝐴𝐻𝐴 / 𝑥𝐶 = 𝐷)
126 nfcvd 2656 . . . . 5 (𝐵𝐻𝑥𝐸)
127 monotuz.7 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵𝐶 = 𝐸)
128126, 127csbiegf 3427 . . . 4 (𝐵𝐻𝐵 / 𝑥𝐶 = 𝐸)
129125, 128breqan12d 4497 . . 3 ((𝐴𝐻𝐵𝐻) → (𝐴 / 𝑥𝐶 < 𝐵 / 𝑥𝐶𝐷 < 𝐸))
130129adantl 480 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐻𝐵𝐻)) → (𝐴 / 𝑥𝐶 < 𝐵 / 𝑥𝐶𝐷 < 𝐸))
131122, 130bitrd 266 1 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐻𝐵𝐻)) → (𝐴 < 𝐵𝐷 < 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1938  csb 3403   class class class wbr 4481  cfv 5689  (class class class)co 6426  cr 9690  1c1 9692   + caddc 9694   < clt 9829  cle 9830  cz 11118  cuz 11427
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6723  ax-cnex 9747  ax-resscn 9748  ax-1cn 9749  ax-icn 9750  ax-addcl 9751  ax-addrcl 9752  ax-mulcl 9753  ax-mulrcl 9754  ax-mulcom 9755  ax-addass 9756  ax-mulass 9757  ax-distr 9758  ax-i2m1 9759  ax-1ne0 9760  ax-1rid 9761  ax-rnegex 9762  ax-rrecex 9763  ax-cnre 9764  ax-pre-lttri 9765  ax-pre-lttrn 9766  ax-pre-ltadd 9767  ax-pre-mulgt0 9768
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-riota 6388  df-ov 6429  df-oprab 6430  df-mpt2 6431  df-om 6834  df-wrecs 7169  df-recs 7231  df-rdg 7269  df-er 7505  df-en 7718  df-dom 7719  df-sdom 7720  df-pnf 9831  df-mnf 9832  df-xr 9833  df-ltxr 9834  df-le 9835  df-sub 10019  df-neg 10020  df-nn 10776  df-n0 11048  df-z 11119  df-uz 11428
This theorem is referenced by:  ltrmynn0  36423  ltrmxnn0  36424
  Copyright terms: Public domain W3C validator