Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mopni2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mopni2 22238
 Description: An open set of a metric space includes a ball around each of its points. (Contributed by NM, 2-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
mopni.1 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
mopni2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝐽𝑃𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝑥,𝐽   𝑥,𝑃   𝑥,𝑋

Proof of Theorem mopni2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mopni.1 . . 3 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
21mopni 22237 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝐽𝑃𝐴) → ∃𝑦 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃𝑦𝑦𝐴))
31mopnss 22191 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝐽) → 𝐴𝑋)
43sselda 3588 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝐽) ∧ 𝑃𝐴) → 𝑃𝑋)
5 blssex 22172 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (∃𝑦 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃𝑦𝑦𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝐴))
65adantlr 750 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝐽) ∧ 𝑃𝑋) → (∃𝑦 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃𝑦𝑦𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝐴))
74, 6syldan 487 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝐽) ∧ 𝑃𝐴) → (∃𝑦 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃𝑦𝑦𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝐴))
873impa 1256 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝐽𝑃𝐴) → (∃𝑦 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃𝑦𝑦𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝐴))
92, 8mpbid 222 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝐽𝑃𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∃wrex 2909   ⊆ wss 3560  ran crn 5085  ‘cfv 5857  (class class class)co 6615  ℝ+crp 11792  ∞Metcxmt 19671  ballcbl 19673  MetOpencmopn 19676 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-map 7819  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-sup 8308  df-inf 8309  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-q 11749  df-rp 11793  df-xneg 11906  df-xadd 11907  df-xmul 11908  df-topgen 16044  df-psmet 19678  df-xmet 19679  df-bl 19681  df-mopn 19682  df-top 20639  df-topon 20656  df-bases 20690 This theorem is referenced by:  mopni3  22239  neibl  22246  met1stc  22266  met2ndci  22267  prdsxmslem2  22274  metcnp3  22285  xrsmopn  22555  iccntr  22564  icccmplem3  22567  reconnlem2  22570  opnreen  22574  metdseq0  22597  cnllycmp  22695  nmhmcn  22860  lmmbr  22996  cfilfcls  23012  iscmet3lem2  23030  bcthlem5  23065  opnmbllem  23309  ellimc3  23583  lhop  23717  dvcnvre  23720  xrlimcnp  24629  lgamucov  24698  ubthlem1  27614  cnllysconn  30988  ptrecube  33080  opnmbllem0  33116  heiborlem8  33288  qndenserrnopnlem  39854  opnvonmbllem2  40184
 Copyright terms: Public domain W3C validator