Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mopntopon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mopntopon 22465
 Description: The set of open sets of a metric space 𝑋 is a topology on 𝑋. Remark in [Kreyszig] p. 19. This theorem connects the two concepts and makes available the theorems for topologies for use with metric spaces. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mopnval.1 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
mopntopon (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))

Proof of Theorem mopntopon
StepHypRef Expression
1 mopnval.1 . . 3 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
21mopnval 22464 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 = (topGen‘ran (ball‘𝐷)))
3 blbas 22456 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ran (ball‘𝐷) ∈ TopBases)
4 tgtopon 20997 . . . 4 (ran (ball‘𝐷) ∈ TopBases → (topGen‘ran (ball‘𝐷)) ∈ (TopOn‘ ran (ball‘𝐷)))
53, 4syl 17 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (topGen‘ran (ball‘𝐷)) ∈ (TopOn‘ ran (ball‘𝐷)))
6 unirnbl 22446 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ran (ball‘𝐷) = 𝑋)
76fveq2d 6357 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (TopOn‘ ran (ball‘𝐷)) = (TopOn‘𝑋))
85, 7eleqtrd 2841 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (topGen‘ran (ball‘𝐷)) ∈ (TopOn‘𝑋))
92, 8eqeltrd 2839 1 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∪ cuni 4588  ran crn 5267  ‘cfv 6049  topGenctg 16320  ∞Metcxmt 19953  ballcbl 19955  MetOpencmopn 19958  TopOnctopon 20937  TopBasesctb 20971 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-sup 8515  df-inf 8516  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-xneg 12159  df-xadd 12160  df-xmul 12161  df-topgen 16326  df-psmet 19960  df-xmet 19961  df-bl 19963  df-mopn 19964  df-top 20921  df-topon 20938  df-bases 20972 This theorem is referenced by:  mopntop  22466  mopnuni  22467  mopnm  22470  mopnss  22472  isxms2  22474  methaus  22546  prdsxmslem2  22555  metcnp3  22566  metcn  22569  metcnpi3  22572  txmetcn  22574  cnfldms  22800  cnfldtopn  22806  metdseq0  22878  metdscn2  22881  iitopon  22903  lebnumlem2  22982  lmmbr  23276  cfilfcls  23292  cmetcaulem  23306  iscmet3lem2  23310  lmle  23319  nglmle  23320  caublcls  23327  metcnp4  23328  metcn4  23329  cmetss  23333  relcmpcmet  23335  bcth2  23347  vmcn  27884  dipcn  27905  blocni  27990  ipasslem7  28021  ubthlem1  28056  ubthlem2  28057  minvecolem4b  28064  minvecolem4  28066  axhcompl-zf  28185  hlimadd  28380  hlim0  28422  occllem  28492  hmopidmchi  29340  fmcncfil  30307  ismtyhmeolem  33934  heiborlem9  33949  bfplem2  33953
 Copyright terms: Public domain W3C validator