MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mopntopon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mopntopon 22002
Description: The set of open sets of a metric space 𝑋 is a topology on 𝑋. Remark in [Kreyszig] p. 19. This theorem connects the two concepts and makes available the theorems for topologies for use with metric spaces. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mopnval.1 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
mopntopon (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))

Proof of Theorem mopntopon
StepHypRef Expression
1 mopnval.1 . . 3 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
21mopnval 22001 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 = (topGen‘ran (ball‘𝐷)))
3 blbas 21993 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ran (ball‘𝐷) ∈ TopBases)
4 tgtopon 20534 . . . 4 (ran (ball‘𝐷) ∈ TopBases → (topGen‘ran (ball‘𝐷)) ∈ (TopOn‘ ran (ball‘𝐷)))
53, 4syl 17 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (topGen‘ran (ball‘𝐷)) ∈ (TopOn‘ ran (ball‘𝐷)))
6 unirnbl 21983 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ran (ball‘𝐷) = 𝑋)
76fveq2d 6092 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (TopOn‘ ran (ball‘𝐷)) = (TopOn‘𝑋))
85, 7eleqtrd 2689 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (topGen‘ran (ball‘𝐷)) ∈ (TopOn‘𝑋))
92, 8eqeltrd 2687 1 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1976   cuni 4366  ran crn 5029  cfv 5790  topGenctg 15870  ∞Metcxmt 19501  ballcbl 19503  MetOpencmopn 19506  TopOnctopon 20466  TopBasesctb 20468
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-pre-sup 9871
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-er 7607  df-map 7724  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-sup 8209  df-inf 8210  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-nn 10871  df-2 10929  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-q 11624  df-rp 11668  df-xneg 11781  df-xadd 11782  df-xmul 11783  df-topgen 15876  df-psmet 19508  df-xmet 19509  df-bl 19511  df-mopn 19512  df-top 20469  df-bases 20470  df-topon 20471
This theorem is referenced by:  mopntop  22003  mopnuni  22004  mopnm  22007  mopnss  22009  isxms2  22011  methaus  22083  prdsxmslem2  22092  metcnp3  22103  metcn  22106  metcnpi3  22109  txmetcn  22111  cnfldms  22337  cnfldtopn  22343  metdseq0  22413  metdscn2  22416  iitopon  22438  lebnumlem2  22517  lmmbr  22809  cfilfcls  22825  cmetcaulem  22839  iscmet3lem2  22843  lmle  22852  nglmle  22853  caublcls  22860  metcnp4  22861  metcn4  22862  cmetss  22866  relcmpcmet  22868  bcth2  22880  nvlmcl  26759  vmcn  26767  dipcn  26791  blocni  26878  ipasslem7  26909  ubthlem1  26944  ubthlem2  26945  minvecolem4b  26952  minvecolem4  26954  axhcompl-zf  27073  hlimadd  27268  hlim0  27310  occllem  27380  hmopidmchi  28228  fmcncfil  29139  ismtyhmeolem  32597  heiborlem9  32612  bfplem2  32616
  Copyright terms: Public domain W3C validator