MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  motgrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem motgrp 25355
Description: The motions of a geometry form a group with respect to function composition, called the Isometry group. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ismot.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismot.m = (dist‘𝐺)
motgrp.1 (𝜑𝐺𝑉)
motgrp.i 𝐼 = {⟨(Base‘ndx), (𝐺Ismt𝐺)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑓𝑔))⟩}
Assertion
Ref Expression
motgrp (𝜑𝐼 ∈ Grp)
Distinct variable groups:   𝑓,𝐺,𝑔   𝑓,𝐼,𝑔   𝑃,𝑓,𝑔   𝜑,𝑓,𝑔
Allowed substitution hints:   (𝑓,𝑔)   𝑉(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem motgrp
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 6638 . . 3 (𝐺Ismt𝐺) ∈ V
2 motgrp.i . . . 4 𝐼 = {⟨(Base‘ndx), (𝐺Ismt𝐺)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑓𝑔))⟩}
32grpbase 15923 . . 3 ((𝐺Ismt𝐺) ∈ V → (𝐺Ismt𝐺) = (Base‘𝐼))
41, 3mp1i 13 . 2 (𝜑 → (𝐺Ismt𝐺) = (Base‘𝐼))
5 eqidd 2622 . 2 (𝜑 → (+g𝐼) = (+g𝐼))
6 ismot.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
7 ismot.m . . . 4 = (dist‘𝐺)
8 motgrp.1 . . . . 5 (𝜑𝐺𝑉)
983ad2ant1 1080 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → 𝐺𝑉)
10 simp2 1060 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
11 simp3 1061 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
126, 7, 9, 2, 10, 11motplusg 25354 . . 3 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → (𝑓(+g𝐼)𝑔) = (𝑓𝑔))
136, 7, 9, 10, 11motco 25352 . . 3 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → (𝑓𝑔) ∈ (𝐺Ismt𝐺))
1412, 13eqeltrd 2698 . 2 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → (𝑓(+g𝐼)𝑔) ∈ (𝐺Ismt𝐺))
15 coass 5618 . . 3 ((𝑓𝑔) ∘ ) = (𝑓 ∘ (𝑔))
16123adant3r3 1273 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → (𝑓(+g𝐼)𝑔) = (𝑓𝑔))
1716oveq1d 6625 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → ((𝑓(+g𝐼)𝑔)(+g𝐼)) = ((𝑓𝑔)(+g𝐼)))
188adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → 𝐺𝑉)
19133adant3r3 1273 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → (𝑓𝑔) ∈ (𝐺Ismt𝐺))
20 simpr3 1067 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → ∈ (𝐺Ismt𝐺))
216, 7, 18, 2, 19, 20motplusg 25354 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → ((𝑓𝑔)(+g𝐼)) = ((𝑓𝑔) ∘ ))
2217, 21eqtrd 2655 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → ((𝑓(+g𝐼)𝑔)(+g𝐼)) = ((𝑓𝑔) ∘ ))
23 simpr2 1066 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
246, 7, 18, 2, 23, 20motplusg 25354 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → (𝑔(+g𝐼)) = (𝑔))
2524oveq2d 6626 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → (𝑓(+g𝐼)(𝑔(+g𝐼))) = (𝑓(+g𝐼)(𝑔)))
26 simpr1 1065 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
276, 7, 18, 23, 20motco 25352 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → (𝑔) ∈ (𝐺Ismt𝐺))
286, 7, 18, 2, 26, 27motplusg 25354 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → (𝑓(+g𝐼)(𝑔)) = (𝑓 ∘ (𝑔)))
2925, 28eqtrd 2655 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → (𝑓(+g𝐼)(𝑔(+g𝐼))) = (𝑓 ∘ (𝑔)))
3015, 22, 293eqtr4a 2681 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → ((𝑓(+g𝐼)𝑔)(+g𝐼)) = (𝑓(+g𝐼)(𝑔(+g𝐼))))
316, 7, 8idmot 25349 . 2 (𝜑 → ( I ↾ 𝑃) ∈ (𝐺Ismt𝐺))
328adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → 𝐺𝑉)
3331adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → ( I ↾ 𝑃) ∈ (𝐺Ismt𝐺))
34 simpr 477 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
356, 7, 32, 2, 33, 34motplusg 25354 . . 3 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → (( I ↾ 𝑃)(+g𝐼)𝑓) = (( I ↾ 𝑃) ∘ 𝑓))
366, 7ismot 25347 . . . . . 6 (𝐺𝑉 → (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↔ (𝑓:𝑃1-1-onto𝑃 ∧ ∀𝑎𝑃𝑏𝑃 ((𝑓𝑎) (𝑓𝑏)) = (𝑎 𝑏))))
3736simprbda 652 . . . . 5 ((𝐺𝑉𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → 𝑓:𝑃1-1-onto𝑃)
388, 37sylan 488 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → 𝑓:𝑃1-1-onto𝑃)
39 f1of 6099 . . . 4 (𝑓:𝑃1-1-onto𝑃𝑓:𝑃𝑃)
40 fcoi2 6041 . . . 4 (𝑓:𝑃𝑃 → (( I ↾ 𝑃) ∘ 𝑓) = 𝑓)
4138, 39, 403syl 18 . . 3 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → (( I ↾ 𝑃) ∘ 𝑓) = 𝑓)
4235, 41eqtrd 2655 . 2 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → (( I ↾ 𝑃)(+g𝐼)𝑓) = 𝑓)
436, 7, 32, 34cnvmot 25353 . 2 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
446, 7, 32, 2, 43, 34motplusg 25354 . . 3 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → (𝑓(+g𝐼)𝑓) = (𝑓𝑓))
45 f1ococnv1 6127 . . . 4 (𝑓:𝑃1-1-onto𝑃 → (𝑓𝑓) = ( I ↾ 𝑃))
4638, 45syl 17 . . 3 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → (𝑓𝑓) = ( I ↾ 𝑃))
4744, 46eqtrd 2655 . 2 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → (𝑓(+g𝐼)𝑓) = ( I ↾ 𝑃))
484, 5, 14, 30, 31, 42, 43, 47isgrpd 17376 1 (𝜑𝐼 ∈ Grp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  Vcvv 3189  {cpr 4155  cop 4159   I cid 4989  ccnv 5078  cres 5081  ccom 5083  wf 5848  1-1-ontowf1o 5851  cfv 5852  (class class class)co 6610  cmpt2 6612  ndxcnx 15789  Basecbs 15792  +gcplusg 15873  distcds 15882  Grpcgrp 17354  Ismtcismt 25344
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-2 11031  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-fz 12277  df-struct 15794  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-plusg 15886  df-0g 16034  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-grp 17357  df-ismt 25345
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator