MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  motplusg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem motplusg 25431
Description: The operation for motions is their composition. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ismot.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismot.m = (dist‘𝐺)
motgrp.1 (𝜑𝐺𝑉)
motgrp.i 𝐼 = {⟨(Base‘ndx), (𝐺Ismt𝐺)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑓𝑔))⟩}
motplusg.1 (𝜑𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
motplusg.2 (𝜑𝐻 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
Assertion
Ref Expression
motplusg (𝜑 → (𝐹(+g𝐼)𝐻) = (𝐹𝐻))
Distinct variable group:   𝑓,𝐺,𝑔
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑔)   𝑃(𝑓,𝑔)   𝐹(𝑓,𝑔)   𝐻(𝑓,𝑔)   𝐼(𝑓,𝑔)   (𝑓,𝑔)   𝑉(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem motplusg
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 motplusg.1 . 2 (𝜑𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
2 motplusg.2 . 2 (𝜑𝐻 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
3 coexg 7114 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝐻 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → (𝐹𝐻) ∈ V)
41, 2, 3syl2anc 693 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐻) ∈ V)
5 coeq1 5277 . . 3 (𝑎 = 𝐹 → (𝑎𝑏) = (𝐹𝑏))
6 coeq2 5278 . . 3 (𝑏 = 𝐻 → (𝐹𝑏) = (𝐹𝐻))
7 ovex 6675 . . . . . 6 (𝐺Ismt𝐺) ∈ V
87, 7mpt2ex 7244 . . . . 5 (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑓𝑔)) ∈ V
9 motgrp.i . . . . . 6 𝐼 = {⟨(Base‘ndx), (𝐺Ismt𝐺)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑓𝑔))⟩}
109grpplusg 15986 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑓𝑔)) ∈ V → (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑓𝑔)) = (+g𝐼))
118, 10ax-mp 5 . . . 4 (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑓𝑔)) = (+g𝐼)
12 coeq1 5277 . . . . 5 (𝑓 = 𝑎 → (𝑓𝑔) = (𝑎𝑔))
13 coeq2 5278 . . . . 5 (𝑔 = 𝑏 → (𝑎𝑔) = (𝑎𝑏))
1412, 13cbvmpt2v 6732 . . . 4 (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑓𝑔)) = (𝑎 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑏 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑎𝑏))
1511, 14eqtr3i 2645 . . 3 (+g𝐼) = (𝑎 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑏 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑎𝑏))
165, 6, 15ovmpt2g 6792 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝐻 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ (𝐹𝐻) ∈ V) → (𝐹(+g𝐼)𝐻) = (𝐹𝐻))
171, 2, 4, 16syl3anc 1325 1 (𝜑 → (𝐹(+g𝐼)𝐻) = (𝐹𝐻))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1482  wcel 1989  Vcvv 3198  {cpr 4177  cop 4181  ccom 5116  cfv 5886  (class class class)co 6647  cmpt2 6649  ndxcnx 15848  Basecbs 15851  +gcplusg 15935  distcds 15944  Ismtcismt 25421
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-1o 7557  df-oadd 7561  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-fin 7956  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-nn 11018  df-2 11076  df-n0 11290  df-z 11375  df-uz 11685  df-fz 12324  df-struct 15853  df-ndx 15854  df-slot 15855  df-base 15857  df-plusg 15948
This theorem is referenced by:  motgrp  25432
  Copyright terms: Public domain W3C validator