Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpfmulcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mpfmulcl 19454
 Description: The product of multivariate polynomial functions. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mpfsubrg.q 𝑄 = ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
mpfmulcl.t · = (.r𝑆)
Assertion
Ref Expression
mpfmulcl ((𝐹𝑄𝐺𝑄) → (𝐹𝑓 · 𝐺) ∈ 𝑄)

Proof of Theorem mpfmulcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . . 3 (𝑆s ((Base‘𝑆) ↑𝑚 𝐼)) = (𝑆s ((Base‘𝑆) ↑𝑚 𝐼))
2 eqid 2621 . . 3 (Base‘(𝑆s ((Base‘𝑆) ↑𝑚 𝐼))) = (Base‘(𝑆s ((Base‘𝑆) ↑𝑚 𝐼)))
3 mpfsubrg.q . . . . . 6 𝑄 = ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
43mpfrcl 19437 . . . . 5 (𝐹𝑄 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)))
54adantr 481 . . . 4 ((𝐹𝑄𝐺𝑄) → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)))
65simp2d 1072 . . 3 ((𝐹𝑄𝐺𝑄) → 𝑆 ∈ CRing)
7 ovex 6632 . . . 4 ((Base‘𝑆) ↑𝑚 𝐼) ∈ V
87a1i 11 . . 3 ((𝐹𝑄𝐺𝑄) → ((Base‘𝑆) ↑𝑚 𝐼) ∈ V)
93mpfsubrg 19451 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 ∈ (SubRing‘(𝑆s ((Base‘𝑆) ↑𝑚 𝐼))))
105, 9syl 17 . . . . 5 ((𝐹𝑄𝐺𝑄) → 𝑄 ∈ (SubRing‘(𝑆s ((Base‘𝑆) ↑𝑚 𝐼))))
112subrgss 18702 . . . . 5 (𝑄 ∈ (SubRing‘(𝑆s ((Base‘𝑆) ↑𝑚 𝐼))) → 𝑄 ⊆ (Base‘(𝑆s ((Base‘𝑆) ↑𝑚 𝐼))))
1210, 11syl 17 . . . 4 ((𝐹𝑄𝐺𝑄) → 𝑄 ⊆ (Base‘(𝑆s ((Base‘𝑆) ↑𝑚 𝐼))))
13 simpl 473 . . . 4 ((𝐹𝑄𝐺𝑄) → 𝐹𝑄)
1412, 13sseldd 3584 . . 3 ((𝐹𝑄𝐺𝑄) → 𝐹 ∈ (Base‘(𝑆s ((Base‘𝑆) ↑𝑚 𝐼))))
15 simpr 477 . . . 4 ((𝐹𝑄𝐺𝑄) → 𝐺𝑄)
1612, 15sseldd 3584 . . 3 ((𝐹𝑄𝐺𝑄) → 𝐺 ∈ (Base‘(𝑆s ((Base‘𝑆) ↑𝑚 𝐼))))
17 mpfmulcl.t . . 3 · = (.r𝑆)
18 eqid 2621 . . 3 (.r‘(𝑆s ((Base‘𝑆) ↑𝑚 𝐼))) = (.r‘(𝑆s ((Base‘𝑆) ↑𝑚 𝐼)))
191, 2, 6, 8, 14, 16, 17, 18pwsmulrval 16072 . 2 ((𝐹𝑄𝐺𝑄) → (𝐹(.r‘(𝑆s ((Base‘𝑆) ↑𝑚 𝐼)))𝐺) = (𝐹𝑓 · 𝐺))
2018subrgmcl 18713 . . . 4 ((𝑄 ∈ (SubRing‘(𝑆s ((Base‘𝑆) ↑𝑚 𝐼))) ∧ 𝐹𝑄𝐺𝑄) → (𝐹(.r‘(𝑆s ((Base‘𝑆) ↑𝑚 𝐼)))𝐺) ∈ 𝑄)
21203expib 1265 . . 3 (𝑄 ∈ (SubRing‘(𝑆s ((Base‘𝑆) ↑𝑚 𝐼))) → ((𝐹𝑄𝐺𝑄) → (𝐹(.r‘(𝑆s ((Base‘𝑆) ↑𝑚 𝐼)))𝐺) ∈ 𝑄))
2210, 21mpcom 38 . 2 ((𝐹𝑄𝐺𝑄) → (𝐹(.r‘(𝑆s ((Base‘𝑆) ↑𝑚 𝐼)))𝐺) ∈ 𝑄)
2319, 22eqeltrrd 2699 1 ((𝐹𝑄𝐺𝑄) → (𝐹𝑓 · 𝐺) ∈ 𝑄)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  Vcvv 3186   ⊆ wss 3555  ran crn 5075  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604   ∘𝑓 cof 6848   ↑𝑚 cmap 7802  Basecbs 15781  .rcmulr 15863   ↑s cpws 16028  CRingccrg 18469  SubRingcsubrg 18697   evalSub ces 19423 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-ofr 6851  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-sup 8292  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-hash 13058  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-hom 15887  df-cco 15888  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-prds 16029  df-pws 16031  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-mhm 17256  df-submnd 17257  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-mulg 17462  df-subg 17512  df-ghm 17579  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-abl 18117  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-srg 18427  df-ring 18470  df-cring 18471  df-rnghom 18636  df-subrg 18699  df-lmod 18786  df-lss 18852  df-lsp 18891  df-assa 19231  df-asp 19232  df-ascl 19233  df-psr 19275  df-mvr 19276  df-mpl 19277  df-evls 19425 This theorem is referenced by:  mzpmfp  36787
 Copyright terms: Public domain W3C validator