MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpladd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mpladd 19209
Description: The addition operation on multivariate polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mpladd.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mpladd.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
mpladd.a + = (+g𝑅)
mpladd.g = (+g𝑃)
mpladd.x (𝜑𝑋𝐵)
mpladd.y (𝜑𝑌𝐵)
Assertion
Ref Expression
mpladd (𝜑 → (𝑋 𝑌) = (𝑋𝑓 + 𝑌))

Proof of Theorem mpladd
StepHypRef Expression
1 eqid 2609 . 2 (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 eqid 2609 . 2 (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
3 mpladd.a . 2 + = (+g𝑅)
4 mpladd.g . . 3 = (+g𝑃)
5 mpladd.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑃)
6 fvex 6098 . . . . 5 (Base‘𝑃) ∈ V
75, 6eqeltri 2683 . . . 4 𝐵 ∈ V
8 mpladd.p . . . . . 6 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
98, 1, 5mplval2 19198 . . . . 5 𝑃 = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s 𝐵)
10 eqid 2609 . . . . 5 (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
119, 10ressplusg 15764 . . . 4 (𝐵 ∈ V → (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (+g𝑃))
127, 11ax-mp 5 . . 3 (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (+g𝑃)
134, 12eqtr4i 2634 . 2 = (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
148, 1, 5, 2mplbasss 19199 . . 3 𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
15 mpladd.x . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
1614, 15sseldi 3565 . 2 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
17 mpladd.y . . 3 (𝜑𝑌𝐵)
1814, 17sseldi 3565 . 2 (𝜑𝑌 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
191, 2, 3, 13, 16, 18psradd 19149 1 (𝜑 → (𝑋 𝑌) = (𝑋𝑓 + 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1976  Vcvv 3172  cfv 5790  (class class class)co 6527  𝑓 cof 6770  Basecbs 15641  +gcplusg 15714   mPwSer cmps 19118   mPoly cmpl 19120
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-fz 12153  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-sca 15730  df-vsca 15731  df-tset 15733  df-psr 19123  df-mpl 19125
This theorem is referenced by:  mplcoe1  19232  evlslem1  19282  coe1add  19401  mdegaddle  23555
  Copyright terms: Public domain W3C validator