MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplbaspropd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mplbaspropd 19374
Description: Property deduction for polynomial base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 19-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
psrplusgpropd.b1 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑅))
psrplusgpropd.b2 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑆))
psrplusgpropd.p ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) = (𝑥(+g𝑆)𝑦))
Assertion
Ref Expression
mplbaspropd (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆)))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑦,𝑥   𝑥,𝐵,𝑦   𝑦,𝑅,𝑥   𝑦,𝑆,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mplbaspropd
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrplusgpropd.b1 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑅))
2 psrplusgpropd.b2 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑆))
31, 2eqtr3d 2645 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑆))
43psrbaspropd 19372 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)))
54adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝐼 ∈ V) → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)))
6 psrplusgpropd.p . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) = (𝑥(+g𝑆)𝑦))
71, 2, 6grpidpropd 17030 . . . . . 6 (𝜑 → (0g𝑅) = (0g𝑆))
87breq2d 4589 . . . . 5 (𝜑 → (𝑎 finSupp (0g𝑅) ↔ 𝑎 finSupp (0g𝑆)))
98adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝐼 ∈ V) → (𝑎 finSupp (0g𝑅) ↔ 𝑎 finSupp (0g𝑆)))
105, 9rabeqbidv 3167 . . 3 ((𝜑𝐼 ∈ V) → {𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∣ 𝑎 finSupp (0g𝑅)} = {𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) ∣ 𝑎 finSupp (0g𝑆)})
11 eqid 2609 . . . 4 (𝐼 mPoly 𝑅) = (𝐼 mPoly 𝑅)
12 eqid 2609 . . . 4 (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
13 eqid 2609 . . . 4 (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
14 eqid 2609 . . . 4 (0g𝑅) = (0g𝑅)
15 eqid 2609 . . . 4 (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
1611, 12, 13, 14, 15mplbas 19196 . . 3 (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = {𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∣ 𝑎 finSupp (0g𝑅)}
17 eqid 2609 . . . 4 (𝐼 mPoly 𝑆) = (𝐼 mPoly 𝑆)
18 eqid 2609 . . . 4 (𝐼 mPwSer 𝑆) = (𝐼 mPwSer 𝑆)
19 eqid 2609 . . . 4 (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆))
20 eqid 2609 . . . 4 (0g𝑆) = (0g𝑆)
21 eqid 2609 . . . 4 (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆))
2217, 18, 19, 20, 21mplbas 19196 . . 3 (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆)) = {𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) ∣ 𝑎 finSupp (0g𝑆)}
2310, 16, 223eqtr4g 2668 . 2 ((𝜑𝐼 ∈ V) → (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆)))
24 reldmmpl 19194 . . . . . 6 Rel dom mPoly
2524ovprc1 6560 . . . . 5 𝐼 ∈ V → (𝐼 mPoly 𝑅) = ∅)
2624ovprc1 6560 . . . . 5 𝐼 ∈ V → (𝐼 mPoly 𝑆) = ∅)
2725, 26eqtr4d 2646 . . . 4 𝐼 ∈ V → (𝐼 mPoly 𝑅) = (𝐼 mPoly 𝑆))
2827fveq2d 6092 . . 3 𝐼 ∈ V → (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆)))
2928adantl 480 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ V) → (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆)))
3023, 29pm2.61dan 827 1 (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  {crab 2899  Vcvv 3172  c0 3873   class class class wbr 4577  cfv 5790  (class class class)co 6527   finSupp cfsupp 8135  Basecbs 15641  +gcplusg 15714  0gc0g 15869   mPwSer cmps 19118   mPoly cmpl 19120
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-fz 12153  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-sca 15730  df-vsca 15731  df-tset 15733  df-0g 15871  df-psr 19123  df-mpl 19125
This theorem is referenced by:  ply1baspropd  19380  mdegpropd  23565
  Copyright terms: Public domain W3C validator