MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplcoe5lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mplcoe5lem 19236
Description: Lemma for mplcoe4 19272. (Contributed by AV, 7-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mplcoe1.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplcoe1.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
mplcoe1.z 0 = (0g𝑅)
mplcoe1.o 1 = (1r𝑅)
mplcoe1.i (𝜑𝐼𝑊)
mplcoe2.g 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
mplcoe2.m = (.g𝐺)
mplcoe2.v 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
mplcoe5.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mplcoe5.y (𝜑𝑌𝐷)
mplcoe5.c (𝜑 → ∀𝑥𝐼𝑦𝐼 ((𝑉𝑦)(+g𝐺)(𝑉𝑥)) = ((𝑉𝑥)(+g𝐺)(𝑉𝑦)))
mplcoe5.s (𝜑𝑆𝐼)
Assertion
Ref Expression
mplcoe5lem (𝜑 → ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘, ,𝑦   1 ,𝑘   𝑥,𝑦, 1   𝑘,𝐺,𝑥   𝑓,𝑘,𝑥,𝑦,𝐼   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦   𝑅,𝑓,𝑦   𝐷,𝑘,𝑥,𝑦   𝑃,𝑘,𝑥   𝑘,𝑉,𝑥   0 ,𝑓,𝑘,𝑥,𝑦   𝑓,𝑌,𝑘,𝑥,𝑦   𝑘,𝑊,𝑦   𝑦,𝐺   𝑦,𝑉   𝑦,   𝑆,𝑘,𝑦,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑃(𝑦,𝑓)   𝑅(𝑥,𝑘)   𝑆(𝑓)   1 (𝑓)   (𝑓)   𝐺(𝑓)   𝑉(𝑓)   𝑊(𝑥,𝑓)

Proof of Theorem mplcoe5lem
Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3175 . . . . . 6 𝑥 ∈ V
2 eqid 2609 . . . . . . 7 (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) = (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)))
32elrnmpt 5279 . . . . . 6 (𝑥 ∈ V → (𝑥 ∈ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) ↔ ∃𝑘𝑆 𝑥 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))))
41, 3mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) ↔ ∃𝑘𝑆 𝑥 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))))
5 vex 3175 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
62elrnmpt 5279 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ V → (𝑦 ∈ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) ↔ ∃𝑘𝑆 𝑦 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))))
75, 6mp1i 13 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦 ∈ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) ↔ ∃𝑘𝑆 𝑦 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))))
8 fveq2 6087 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑙 → (𝑌𝑘) = (𝑌𝑙))
9 fveq2 6087 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑙 → (𝑉𝑘) = (𝑉𝑙))
108, 9oveq12d 6544 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑙 → ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) = ((𝑌𝑙) (𝑉𝑙)))
1110eqeq2d 2619 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑙 → (𝑦 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) ↔ 𝑦 = ((𝑌𝑙) (𝑉𝑙))))
1211cbvrexv 3147 . . . . . . . 8 (∃𝑘𝑆 𝑦 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) ↔ ∃𝑙𝑆 𝑦 = ((𝑌𝑙) (𝑉𝑙)))
13 eqid 2609 . . . . . . . . . . . . . 14 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
14 mplcoe2.g . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
15 eqid 2609 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (.r𝑃) = (.r𝑃)
1614, 15mgpplusg 18264 . . . . . . . . . . . . . . 15 (.r𝑃) = (+g𝐺)
1716eqcomi 2618 . . . . . . . . . . . . . 14 (+g𝐺) = (.r𝑃)
18 mplcoe2.m . . . . . . . . . . . . . 14 = (.g𝐺)
19 mplcoe1.i . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐼𝑊)
20 mplcoe5.r . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
21 mplcoe1.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2221mplring 19221 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼𝑊𝑅 ∈ Ring) → 𝑃 ∈ Ring)
2319, 20, 22syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑃 ∈ Ring)
24 ringsrg 18360 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ SRing)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑃 ∈ SRing)
2625adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑙𝑆) → 𝑃 ∈ SRing)
2726adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑙𝑆) ∧ 𝑘𝑆) → 𝑃 ∈ SRing)
2814ringmgp 18324 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Mnd)
2923, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
3029adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑙𝑆) → 𝐺 ∈ Mnd)
31 mplcoe5.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑆𝐼)
3231sseld 3566 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑙𝑆𝑙𝐼))
3332imdistani 721 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑙𝑆) → (𝜑𝑙𝐼))
34 mplcoe5.y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑌𝐷)
35 mplcoe1.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
3635psrbag 19133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐼𝑊 → (𝑌𝐷 ↔ (𝑌:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝑌 “ ℕ) ∈ Fin)))
3719, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑌𝐷 ↔ (𝑌:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝑌 “ ℕ) ∈ Fin)))
3834, 37mpbid 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑌:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝑌 “ ℕ) ∈ Fin))
3938simpld 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑌:𝐼⟶ℕ0)
4039ffvelrnda 6251 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑙𝐼) → (𝑌𝑙) ∈ ℕ0)
4133, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑙𝑆) → (𝑌𝑙) ∈ ℕ0)
42 mplcoe2.v . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
4319adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑙𝑆) → 𝐼𝑊)
4420adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑙𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
4531sselda 3567 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑙𝑆) → 𝑙𝐼)
4621, 42, 13, 43, 44, 45mvrcl 19218 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑙𝑆) → (𝑉𝑙) ∈ (Base‘𝑃))
4714, 13mgpbas 18266 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Base‘𝑃) = (Base‘𝐺)
4847, 18mulgnn0cl 17329 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑌𝑙) ∈ ℕ0 ∧ (𝑉𝑙) ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝑌𝑙) (𝑉𝑙)) ∈ (Base‘𝑃))
4930, 41, 46, 48syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑙𝑆) → ((𝑌𝑙) (𝑉𝑙)) ∈ (Base‘𝑃))
5049adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑙𝑆) ∧ 𝑘𝑆) → ((𝑌𝑙) (𝑉𝑙)) ∈ (Base‘𝑃))
5119adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝑆) → 𝐼𝑊)
5220adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
5331sselda 3567 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝑆) → 𝑘𝐼)
5421, 42, 13, 51, 52, 53mvrcl 19218 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑆) → (𝑉𝑘) ∈ (Base‘𝑃))
5554adantlr 746 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑙𝑆) ∧ 𝑘𝑆) → (𝑉𝑘) ∈ (Base‘𝑃))
5639ffvelrnda 6251 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝐼) → (𝑌𝑘) ∈ ℕ0)
5753, 56syldan 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑆) → (𝑌𝑘) ∈ ℕ0)
5857adantlr 746 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑙𝑆) ∧ 𝑘𝑆) → (𝑌𝑘) ∈ ℕ0)
5946adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑙𝑆) ∧ 𝑘𝑆) → (𝑉𝑙) ∈ (Base‘𝑃))
6041adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑙𝑆) ∧ 𝑘𝑆) → (𝑌𝑙) ∈ ℕ0)
61 mplcoe5.c . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ∀𝑥𝐼𝑦𝐼 ((𝑉𝑦)(+g𝐺)(𝑉𝑥)) = ((𝑉𝑥)(+g𝐺)(𝑉𝑦)))
6245, 53anim12dan 877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑆𝑘𝑆)) → (𝑙𝐼𝑘𝐼))
63 fveq2 6087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝑙 → (𝑉𝑥) = (𝑉𝑙))
6463oveq2d 6542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑙 → ((𝑉𝑦)(+g𝐺)(𝑉𝑥)) = ((𝑉𝑦)(+g𝐺)(𝑉𝑙)))
6563oveq1d 6541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑙 → ((𝑉𝑥)(+g𝐺)(𝑉𝑦)) = ((𝑉𝑙)(+g𝐺)(𝑉𝑦)))
6664, 65eqeq12d 2624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑙 → (((𝑉𝑦)(+g𝐺)(𝑉𝑥)) = ((𝑉𝑥)(+g𝐺)(𝑉𝑦)) ↔ ((𝑉𝑦)(+g𝐺)(𝑉𝑙)) = ((𝑉𝑙)(+g𝐺)(𝑉𝑦))))
67 fveq2 6087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 = 𝑘 → (𝑉𝑦) = (𝑉𝑘))
6867oveq1d 6541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = 𝑘 → ((𝑉𝑦)(+g𝐺)(𝑉𝑙)) = ((𝑉𝑘)(+g𝐺)(𝑉𝑙)))
6967oveq2d 6542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = 𝑘 → ((𝑉𝑙)(+g𝐺)(𝑉𝑦)) = ((𝑉𝑙)(+g𝐺)(𝑉𝑘)))
7068, 69eqeq12d 2624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑘 → (((𝑉𝑦)(+g𝐺)(𝑉𝑙)) = ((𝑉𝑙)(+g𝐺)(𝑉𝑦)) ↔ ((𝑉𝑘)(+g𝐺)(𝑉𝑙)) = ((𝑉𝑙)(+g𝐺)(𝑉𝑘))))
7166, 70rspc2v 3292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑙𝐼𝑘𝐼) → (∀𝑥𝐼𝑦𝐼 ((𝑉𝑦)(+g𝐺)(𝑉𝑥)) = ((𝑉𝑥)(+g𝐺)(𝑉𝑦)) → ((𝑉𝑘)(+g𝐺)(𝑉𝑙)) = ((𝑉𝑙)(+g𝐺)(𝑉𝑘))))
7262, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑆𝑘𝑆)) → (∀𝑥𝐼𝑦𝐼 ((𝑉𝑦)(+g𝐺)(𝑉𝑥)) = ((𝑉𝑥)(+g𝐺)(𝑉𝑦)) → ((𝑉𝑘)(+g𝐺)(𝑉𝑙)) = ((𝑉𝑙)(+g𝐺)(𝑉𝑘))))
7372com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑥𝐼𝑦𝐼 ((𝑉𝑦)(+g𝐺)(𝑉𝑥)) = ((𝑉𝑥)(+g𝐺)(𝑉𝑦)) → ((𝜑 ∧ (𝑙𝑆𝑘𝑆)) → ((𝑉𝑘)(+g𝐺)(𝑉𝑙)) = ((𝑉𝑙)(+g𝐺)(𝑉𝑘))))
7473expd 450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑥𝐼𝑦𝐼 ((𝑉𝑦)(+g𝐺)(𝑉𝑥)) = ((𝑉𝑥)(+g𝐺)(𝑉𝑦)) → (𝜑 → ((𝑙𝑆𝑘𝑆) → ((𝑉𝑘)(+g𝐺)(𝑉𝑙)) = ((𝑉𝑙)(+g𝐺)(𝑉𝑘)))))
7561, 74mpcom 37 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑙𝑆𝑘𝑆) → ((𝑉𝑘)(+g𝐺)(𝑉𝑙)) = ((𝑉𝑙)(+g𝐺)(𝑉𝑘))))
7675impl 647 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑙𝑆) ∧ 𝑘𝑆) → ((𝑉𝑘)(+g𝐺)(𝑉𝑙)) = ((𝑉𝑙)(+g𝐺)(𝑉𝑘)))
7713, 17, 14, 18, 27, 55, 59, 60, 76srgpcomp 18303 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑙𝑆) ∧ 𝑘𝑆) → (((𝑌𝑙) (𝑉𝑙))(+g𝐺)(𝑉𝑘)) = ((𝑉𝑘)(+g𝐺)((𝑌𝑙) (𝑉𝑙))))
7813, 17, 14, 18, 27, 50, 55, 58, 77srgpcomp 18303 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑙𝑆) ∧ 𝑘𝑆) → (((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))(+g𝐺)((𝑌𝑙) (𝑉𝑙))) = (((𝑌𝑙) (𝑉𝑙))(+g𝐺)((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))))
79 oveq12 6535 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) ∧ 𝑦 = ((𝑌𝑙) (𝑉𝑙))) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))(+g𝐺)((𝑌𝑙) (𝑉𝑙))))
80 oveq12 6535 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 = ((𝑌𝑙) (𝑉𝑙)) ∧ 𝑥 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) → (𝑦(+g𝐺)𝑥) = (((𝑌𝑙) (𝑉𝑙))(+g𝐺)((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))))
8180ancoms 467 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) ∧ 𝑦 = ((𝑌𝑙) (𝑉𝑙))) → (𝑦(+g𝐺)𝑥) = (((𝑌𝑙) (𝑉𝑙))(+g𝐺)((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))))
8279, 81eqeq12d 2624 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) ∧ 𝑦 = ((𝑌𝑙) (𝑉𝑙))) → ((𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥) ↔ (((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))(+g𝐺)((𝑌𝑙) (𝑉𝑙))) = (((𝑌𝑙) (𝑉𝑙))(+g𝐺)((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)))))
8378, 82syl5ibrcom 235 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑙𝑆) ∧ 𝑘𝑆) → ((𝑥 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) ∧ 𝑦 = ((𝑌𝑙) (𝑉𝑙))) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥)))
8483expd 450 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑙𝑆) ∧ 𝑘𝑆) → (𝑥 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) → (𝑦 = ((𝑌𝑙) (𝑉𝑙)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))))
8584rexlimdva 3012 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑙𝑆) → (∃𝑘𝑆 𝑥 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) → (𝑦 = ((𝑌𝑙) (𝑉𝑙)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))))
8685com23 83 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑙𝑆) → (𝑦 = ((𝑌𝑙) (𝑉𝑙)) → (∃𝑘𝑆 𝑥 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))))
8786rexlimdva 3012 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∃𝑙𝑆 𝑦 = ((𝑌𝑙) (𝑉𝑙)) → (∃𝑘𝑆 𝑥 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))))
8812, 87syl5bi 230 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑘𝑆 𝑦 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) → (∃𝑘𝑆 𝑥 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))))
897, 88sylbid 228 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) → (∃𝑘𝑆 𝑥 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))))
9089com23 83 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑘𝑆 𝑥 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) → (𝑦 ∈ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))))
914, 90sylbid 228 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) → (𝑦 ∈ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))))
9291imp32 447 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))))) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))
9392ralrimivva 2953 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)))∀𝑦 ∈ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)))(𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))
9429adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑆) → 𝐺 ∈ Mnd)
9531sseld 3566 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑘𝑆𝑘𝐼))
9695imdistani 721 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑆) → (𝜑𝑘𝐼))
9796, 56syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑆) → (𝑌𝑘) ∈ ℕ0)
9854, 47syl6eleq 2697 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑆) → (𝑉𝑘) ∈ (Base‘𝐺))
99 eqid 2609 . . . . . . 7 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
10099, 18mulgnn0cl 17329 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑌𝑘) ∈ ℕ0 ∧ (𝑉𝑘) ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) ∈ (Base‘𝐺))
10194, 97, 98, 100syl3anc 1317 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑆) → ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) ∈ (Base‘𝐺))
102101, 2fmptd 6276 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))):𝑆⟶(Base‘𝐺))
103 frn 5951 . . . 4 ((𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))):𝑆⟶(Base‘𝐺) → ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) ⊆ (Base‘𝐺))
104102, 103syl 17 . . 3 (𝜑 → ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) ⊆ (Base‘𝐺))
105 eqid 2609 . . . 4 (+g𝐺) = (+g𝐺)
106 eqid 2609 . . . 4 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
10799, 105, 106sscntz 17530 . . 3 ((ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) ⊆ (Base‘𝐺) ∧ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) ⊆ (Base‘𝐺)) → (ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)))) ↔ ∀𝑥 ∈ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)))∀𝑦 ∈ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)))(𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥)))
108104, 104, 107syl2anc 690 . 2 (𝜑 → (ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)))) ↔ ∀𝑥 ∈ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)))∀𝑦 ∈ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)))(𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥)))
10993, 108mpbird 245 1 (𝜑 → ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wral 2895  wrex 2896  {crab 2899  Vcvv 3172  wss 3539  cmpt 4637  ccnv 5026  ran crn 5028  cima 5030  wf 5785  cfv 5789  (class class class)co 6526  𝑚 cmap 7721  Fincfn 7818  cn 10869  0cn0 11141  Basecbs 15643  +gcplusg 15716  .rcmulr 15717  0gc0g 15871  Mndcmnd 17065  .gcmg 17311  Cntzccntz 17519  mulGrpcmgp 18260  1rcur 18272  SRingcsrg 18276  Ringcrg 18318   mVar cmvr 19121   mPoly cmpl 19122
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-se 4987  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-isom 5798  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-of 6772  df-ofr 6773  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-oi 8275  df-card 8625  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10870  df-2 10928  df-3 10929  df-4 10930  df-5 10931  df-6 10932  df-7 10933  df-8 10934  df-9 10935  df-n0 11142  df-z 11213  df-uz 11522  df-fz 12155  df-fzo 12292  df-seq 12621  df-hash 12937  df-struct 15645  df-ndx 15646  df-slot 15647  df-base 15648  df-sets 15649  df-ress 15650  df-plusg 15729  df-mulr 15730  df-sca 15732  df-vsca 15733  df-tset 15735  df-0g 15873  df-gsum 15874  df-mre 16017  df-mrc 16018  df-acs 16020  df-mgm 17013  df-sgrp 17055  df-mnd 17066  df-mhm 17106  df-submnd 17107  df-grp 17196  df-minusg 17197  df-mulg 17312  df-subg 17362  df-ghm 17429  df-cntz 17521  df-cmn 17966  df-abl 17967  df-mgp 18261  df-ur 18273  df-srg 18277  df-ring 18320  df-subrg 18549  df-psr 19125  df-mvr 19126  df-mpl 19127
This theorem is referenced by:  mplcoe5  19237
  Copyright terms: Public domain W3C validator