MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpllsslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mpllsslem 19483
Description: If 𝐴 is an ideal of subsets (a nonempty collection closed under subset and binary union) of the set 𝐷 of finite bags (the primary applications being 𝐴 = Fin and 𝐴 = 𝒫 𝐵 for some 𝐵), then the set of all power series whose coefficient functions are supported on an element of 𝐴 is a linear subspace of the set of all power series. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2015.) (Revised by AV, 16-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mplsubglem.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mplsubglem.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
mplsubglem.z 0 = (0g𝑅)
mplsubglem.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
mplsubglem.i (𝜑𝐼𝑊)
mplsubglem.0 (𝜑 → ∅ ∈ 𝐴)
mplsubglem.a ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → (𝑥𝑦) ∈ 𝐴)
mplsubglem.y ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝑥)) → 𝑦𝐴)
mplsubglem.u (𝜑𝑈 = {𝑔𝐵 ∣ (𝑔 supp 0 ) ∈ 𝐴})
mpllsslem.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
Assertion
Ref Expression
mpllsslem (𝜑𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑥,𝑦, 0   𝐴,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦   𝐵,𝑓,𝑔   𝐷,𝑔   𝑓,𝐼   𝜑,𝑥,𝑦   𝑆,𝑓,𝑔,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑔)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑓)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔)   𝑆(𝑥)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔)   𝐼(𝑥,𝑦,𝑔)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔)

Proof of Theorem mpllsslem
Dummy variables 𝑘 𝑢 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplsubglem.s . . 3 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 mplsubglem.i . . 3 (𝜑𝐼𝑊)
3 mpllsslem.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
41, 2, 3psrsca 19437 . 2 (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝑆))
5 eqidd 2652 . 2 (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
6 mplsubglem.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑆)
76a1i 11 . 2 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑆))
8 eqidd 2652 . 2 (𝜑 → (+g𝑆) = (+g𝑆))
9 eqidd 2652 . 2 (𝜑 → ( ·𝑠𝑆) = ( ·𝑠𝑆))
10 eqidd 2652 . 2 (𝜑 → (LSubSp‘𝑆) = (LSubSp‘𝑆))
11 mplsubglem.z . . . 4 0 = (0g𝑅)
12 mplsubglem.d . . . 4 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
13 mplsubglem.0 . . . 4 (𝜑 → ∅ ∈ 𝐴)
14 mplsubglem.a . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → (𝑥𝑦) ∈ 𝐴)
15 mplsubglem.y . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝑥)) → 𝑦𝐴)
16 mplsubglem.u . . . 4 (𝜑𝑈 = {𝑔𝐵 ∣ (𝑔 supp 0 ) ∈ 𝐴})
17 ringgrp 18598 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
183, 17syl 17 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
191, 6, 11, 12, 2, 13, 14, 15, 16, 18mplsubglem 19482 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑆))
206subgss 17642 . . 3 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑆) → 𝑈𝐵)
2119, 20syl 17 . 2 (𝜑𝑈𝐵)
22 eqid 2651 . . . 4 (0g𝑆) = (0g𝑆)
2322subg0cl 17649 . . 3 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑆) → (0g𝑆) ∈ 𝑈)
24 ne0i 3954 . . 3 ((0g𝑆) ∈ 𝑈𝑈 ≠ ∅)
2519, 23, 243syl 18 . 2 (𝜑𝑈 ≠ ∅)
2619adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣𝑈𝑤𝑈)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑆))
27 eqid 2651 . . . . . 6 ( ·𝑠𝑆) = ( ·𝑠𝑆)
28 eqid 2651 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
293adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣𝑈)) → 𝑅 ∈ Ring)
30 simprl 809 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣𝑈)) → 𝑢 ∈ (Base‘𝑅))
31 simprr 811 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣𝑈)) → 𝑣𝑈)
3216adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣𝑈)) → 𝑈 = {𝑔𝐵 ∣ (𝑔 supp 0 ) ∈ 𝐴})
3332eleq2d 2716 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣𝑈)) → (𝑣𝑈𝑣 ∈ {𝑔𝐵 ∣ (𝑔 supp 0 ) ∈ 𝐴}))
34 oveq1 6697 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = 𝑣 → (𝑔 supp 0 ) = (𝑣 supp 0 ))
3534eleq1d 2715 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = 𝑣 → ((𝑔 supp 0 ) ∈ 𝐴 ↔ (𝑣 supp 0 ) ∈ 𝐴))
3635elrab 3396 . . . . . . . . 9 (𝑣 ∈ {𝑔𝐵 ∣ (𝑔 supp 0 ) ∈ 𝐴} ↔ (𝑣𝐵 ∧ (𝑣 supp 0 ) ∈ 𝐴))
3733, 36syl6bb 276 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣𝑈)) → (𝑣𝑈 ↔ (𝑣𝐵 ∧ (𝑣 supp 0 ) ∈ 𝐴)))
3831, 37mpbid 222 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣𝑈)) → (𝑣𝐵 ∧ (𝑣 supp 0 ) ∈ 𝐴))
3938simpld 474 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣𝑈)) → 𝑣𝐵)
401, 27, 28, 6, 29, 30, 39psrvscacl 19441 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣𝑈)) → (𝑢( ·𝑠𝑆)𝑣) ∈ 𝐵)
41 ovex 6718 . . . . . . 7 ((𝑢( ·𝑠𝑆)𝑣) supp 0 ) ∈ V
4241a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣𝑈)) → ((𝑢( ·𝑠𝑆)𝑣) supp 0 ) ∈ V)
4338simprd 478 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣𝑈)) → (𝑣 supp 0 ) ∈ 𝐴)
4415expr 642 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑦𝑥𝑦𝐴))
4544alrimiv 1895 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → ∀𝑦(𝑦𝑥𝑦𝐴))
4645ralrimiva 2995 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦(𝑦𝑥𝑦𝐴))
4746adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣𝑈)) → ∀𝑥𝐴𝑦(𝑦𝑥𝑦𝐴))
48 sseq2 3660 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑣 supp 0 ) → (𝑦𝑥𝑦 ⊆ (𝑣 supp 0 )))
4948imbi1d 330 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑣 supp 0 ) → ((𝑦𝑥𝑦𝐴) ↔ (𝑦 ⊆ (𝑣 supp 0 ) → 𝑦𝐴)))
5049albidv 1889 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑣 supp 0 ) → (∀𝑦(𝑦𝑥𝑦𝐴) ↔ ∀𝑦(𝑦 ⊆ (𝑣 supp 0 ) → 𝑦𝐴)))
5150rspcv 3336 . . . . . . 7 ((𝑣 supp 0 ) ∈ 𝐴 → (∀𝑥𝐴𝑦(𝑦𝑥𝑦𝐴) → ∀𝑦(𝑦 ⊆ (𝑣 supp 0 ) → 𝑦𝐴)))
5243, 47, 51sylc 65 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣𝑈)) → ∀𝑦(𝑦 ⊆ (𝑣 supp 0 ) → 𝑦𝐴))
531, 28, 12, 6, 40psrelbas 19427 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣𝑈)) → (𝑢( ·𝑠𝑆)𝑣):𝐷⟶(Base‘𝑅))
54 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (.r𝑅) = (.r𝑅)
5530adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣𝑈)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ (𝑣 supp 0 ))) → 𝑢 ∈ (Base‘𝑅))
5639adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣𝑈)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ (𝑣 supp 0 ))) → 𝑣𝐵)
57 eldifi 3765 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (𝐷 ∖ (𝑣 supp 0 )) → 𝑘𝐷)
5857adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣𝑈)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ (𝑣 supp 0 ))) → 𝑘𝐷)
591, 27, 28, 6, 54, 12, 55, 56, 58psrvscaval 19440 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣𝑈)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ (𝑣 supp 0 ))) → ((𝑢( ·𝑠𝑆)𝑣)‘𝑘) = (𝑢(.r𝑅)(𝑣𝑘)))
601, 28, 12, 6, 39psrelbas 19427 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣𝑈)) → 𝑣:𝐷⟶(Base‘𝑅))
61 ssid 3657 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 supp 0 ) ⊆ (𝑣 supp 0 )
6261a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣𝑈)) → (𝑣 supp 0 ) ⊆ (𝑣 supp 0 ))
63 ovex 6718 . . . . . . . . . . . 12 (ℕ0𝑚 𝐼) ∈ V
6412, 63rabex2 4847 . . . . . . . . . . 11 𝐷 ∈ V
6564a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣𝑈)) → 𝐷 ∈ V)
66 fvex 6239 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝑅) ∈ V
6711, 66eqeltri 2726 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
6867a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣𝑈)) → 0 ∈ V)
6960, 62, 65, 68suppssr 7371 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣𝑈)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ (𝑣 supp 0 ))) → (𝑣𝑘) = 0 )
7069oveq2d 6706 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣𝑈)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ (𝑣 supp 0 ))) → (𝑢(.r𝑅)(𝑣𝑘)) = (𝑢(.r𝑅) 0 ))
7128, 54, 11ringrz 18634 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑢(.r𝑅) 0 ) = 0 )
723, 30, 71syl2an2r 893 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣𝑈)) → (𝑢(.r𝑅) 0 ) = 0 )
7372adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣𝑈)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ (𝑣 supp 0 ))) → (𝑢(.r𝑅) 0 ) = 0 )
7459, 70, 733eqtrd 2689 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣𝑈)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ (𝑣 supp 0 ))) → ((𝑢( ·𝑠𝑆)𝑣)‘𝑘) = 0 )
7553, 74suppss 7370 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣𝑈)) → ((𝑢( ·𝑠𝑆)𝑣) supp 0 ) ⊆ (𝑣 supp 0 ))
76 sseq1 3659 . . . . . . . 8 (𝑦 = ((𝑢( ·𝑠𝑆)𝑣) supp 0 ) → (𝑦 ⊆ (𝑣 supp 0 ) ↔ ((𝑢( ·𝑠𝑆)𝑣) supp 0 ) ⊆ (𝑣 supp 0 )))
77 eleq1 2718 . . . . . . . 8 (𝑦 = ((𝑢( ·𝑠𝑆)𝑣) supp 0 ) → (𝑦𝐴 ↔ ((𝑢( ·𝑠𝑆)𝑣) supp 0 ) ∈ 𝐴))
7876, 77imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑦 = ((𝑢( ·𝑠𝑆)𝑣) supp 0 ) → ((𝑦 ⊆ (𝑣 supp 0 ) → 𝑦𝐴) ↔ (((𝑢( ·𝑠𝑆)𝑣) supp 0 ) ⊆ (𝑣 supp 0 ) → ((𝑢( ·𝑠𝑆)𝑣) supp 0 ) ∈ 𝐴)))
7978spcgv 3324 . . . . . 6 (((𝑢( ·𝑠𝑆)𝑣) supp 0 ) ∈ V → (∀𝑦(𝑦 ⊆ (𝑣 supp 0 ) → 𝑦𝐴) → (((𝑢( ·𝑠𝑆)𝑣) supp 0 ) ⊆ (𝑣 supp 0 ) → ((𝑢( ·𝑠𝑆)𝑣) supp 0 ) ∈ 𝐴)))
8042, 52, 75, 79syl3c 66 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣𝑈)) → ((𝑢( ·𝑠𝑆)𝑣) supp 0 ) ∈ 𝐴)
8132eleq2d 2716 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣𝑈)) → ((𝑢( ·𝑠𝑆)𝑣) ∈ 𝑈 ↔ (𝑢( ·𝑠𝑆)𝑣) ∈ {𝑔𝐵 ∣ (𝑔 supp 0 ) ∈ 𝐴}))
82 oveq1 6697 . . . . . . . 8 (𝑔 = (𝑢( ·𝑠𝑆)𝑣) → (𝑔 supp 0 ) = ((𝑢( ·𝑠𝑆)𝑣) supp 0 ))
8382eleq1d 2715 . . . . . . 7 (𝑔 = (𝑢( ·𝑠𝑆)𝑣) → ((𝑔 supp 0 ) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑢( ·𝑠𝑆)𝑣) supp 0 ) ∈ 𝐴))
8483elrab 3396 . . . . . 6 ((𝑢( ·𝑠𝑆)𝑣) ∈ {𝑔𝐵 ∣ (𝑔 supp 0 ) ∈ 𝐴} ↔ ((𝑢( ·𝑠𝑆)𝑣) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑢( ·𝑠𝑆)𝑣) supp 0 ) ∈ 𝐴))
8581, 84syl6bb 276 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣𝑈)) → ((𝑢( ·𝑠𝑆)𝑣) ∈ 𝑈 ↔ ((𝑢( ·𝑠𝑆)𝑣) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑢( ·𝑠𝑆)𝑣) supp 0 ) ∈ 𝐴)))
8640, 80, 85mpbir2and 977 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣𝑈)) → (𝑢( ·𝑠𝑆)𝑣) ∈ 𝑈)
87863adantr3 1242 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣𝑈𝑤𝑈)) → (𝑢( ·𝑠𝑆)𝑣) ∈ 𝑈)
88 simpr3 1089 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣𝑈𝑤𝑈)) → 𝑤𝑈)
89 eqid 2651 . . . 4 (+g𝑆) = (+g𝑆)
9089subgcl 17651 . . 3 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑆) ∧ (𝑢( ·𝑠𝑆)𝑣) ∈ 𝑈𝑤𝑈) → ((𝑢( ·𝑠𝑆)𝑣)(+g𝑆)𝑤) ∈ 𝑈)
9126, 87, 88, 90syl3anc 1366 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣𝑈𝑤𝑈)) → ((𝑢( ·𝑠𝑆)𝑣)(+g𝑆)𝑤) ∈ 𝑈)
924, 5, 7, 8, 9, 10, 21, 25, 91islssd 18984 1 (𝜑𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1054  wal 1521   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  {crab 2945  Vcvv 3231  cdif 3604  cun 3605  wss 3607  c0 3948  ccnv 5142  cima 5146  cfv 5926  (class class class)co 6690   supp csupp 7340  𝑚 cmap 7899  Fincfn 7997  cn 11058  0cn0 11330  Basecbs 15904  +gcplusg 15988  .rcmulr 15989   ·𝑠 cvsca 15992  0gc0g 16147  Grpcgrp 17469  SubGrpcsubg 17635  Ringcrg 18593  LSubSpclss 18980   mPwSer cmps 19399
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-tset 16007  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-subg 17638  df-mgp 18536  df-ring 18595  df-lss 18981  df-psr 19404
This theorem is referenced by:  mpllss  19486
  Copyright terms: Public domain W3C validator