MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplsubrglem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mplsubrglem 19487
Description: Lemma for mplsubrg 19488. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.) (Revised by AV, 18-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mplsubg.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mplsubg.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplsubg.u 𝑈 = (Base‘𝑃)
mplsubg.i (𝜑𝐼𝑊)
mpllss.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mplsubrglem.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
mplsubrglem.z 0 = (0g𝑅)
mplsubrglem.p 𝐴 = ( ∘𝑓 + “ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )))
mplsubrglem.t · = (.r𝑅)
mplsubrglem.x (𝜑𝑋𝑈)
mplsubrglem.y (𝜑𝑌𝑈)
Assertion
Ref Expression
mplsubrglem (𝜑 → (𝑋(.r𝑆)𝑌) ∈ 𝑈)
Distinct variable groups:   𝑓,𝐼   𝑅,𝑓   𝑆,𝑓   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌   0 ,𝑓
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐴(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑃(𝑓)   · (𝑓)   𝑈(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem mplsubrglem
Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑥 𝑔 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplsubg.s . . 3 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 eqid 2651 . . 3 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
3 eqid 2651 . . 3 (.r𝑆) = (.r𝑆)
4 mpllss.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
5 mplsubg.p . . . . 5 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
6 mplsubg.u . . . . 5 𝑈 = (Base‘𝑃)
75, 1, 6, 2mplbasss 19480 . . . 4 𝑈 ⊆ (Base‘𝑆)
8 mplsubrglem.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑈)
97, 8sseldi 3634 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝑆))
10 mplsubrglem.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑈)
117, 10sseldi 3634 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ (Base‘𝑆))
121, 2, 3, 4, 9, 11psrmulcl 19436 . 2 (𝜑 → (𝑋(.r𝑆)𝑌) ∈ (Base‘𝑆))
13 ovexd 6720 . . 3 (𝜑 → (𝑋(.r𝑆)𝑌) ∈ V)
141, 2psrelbasfun 19428 . . . 4 ((𝑋(.r𝑆)𝑌) ∈ (Base‘𝑆) → Fun (𝑋(.r𝑆)𝑌))
1512, 14syl 17 . . 3 (𝜑 → Fun (𝑋(.r𝑆)𝑌))
16 mplsubrglem.z . . . . 5 0 = (0g𝑅)
17 fvex 6239 . . . . 5 (0g𝑅) ∈ V
1816, 17eqeltri 2726 . . . 4 0 ∈ V
1918a1i 11 . . 3 (𝜑0 ∈ V)
20 mplsubrglem.p . . . . 5 𝐴 = ( ∘𝑓 + “ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )))
21 df-ima 5156 . . . . 5 ( ∘𝑓 + “ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))) = ran ( ∘𝑓 + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )))
2220, 21eqtri 2673 . . . 4 𝐴 = ran ( ∘𝑓 + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )))
235, 1, 2, 16, 6mplelbas 19478 . . . . . . . 8 (𝑋𝑈 ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑋 finSupp 0 ))
2423simprbi 479 . . . . . . 7 (𝑋𝑈𝑋 finSupp 0 )
258, 24syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑋 finSupp 0 )
265, 1, 2, 16, 6mplelbas 19478 . . . . . . . 8 (𝑌𝑈 ↔ (𝑌 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑌 finSupp 0 ))
2726simprbi 479 . . . . . . 7 (𝑌𝑈𝑌 finSupp 0 )
2810, 27syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑌 finSupp 0 )
29 fsuppxpfi 8333 . . . . . 6 ((𝑋 finSupp 0𝑌 finSupp 0 ) → ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )) ∈ Fin)
3025, 28, 29syl2anc 694 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )) ∈ Fin)
31 ofmres 7206 . . . . . . 7 ( ∘𝑓 + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))) = (𝑓 ∈ (𝑋 supp 0 ), 𝑔 ∈ (𝑌 supp 0 ) ↦ (𝑓𝑓 + 𝑔))
32 ovex 6718 . . . . . . 7 (𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ V
3331, 32fnmpt2i 7284 . . . . . 6 ( ∘𝑓 + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))) Fn ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))
34 dffn4 6159 . . . . . 6 (( ∘𝑓 + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))) Fn ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )) ↔ ( ∘𝑓 + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))):((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))–onto→ran ( ∘𝑓 + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))))
3533, 34mpbi 220 . . . . 5 ( ∘𝑓 + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))):((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))–onto→ran ( ∘𝑓 + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )))
36 fofi 8293 . . . . 5 ((((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )) ∈ Fin ∧ ( ∘𝑓 + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))):((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))–onto→ran ( ∘𝑓 + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )))) → ran ( ∘𝑓 + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))) ∈ Fin)
3730, 35, 36sylancl 695 . . . 4 (𝜑 → ran ( ∘𝑓 + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))) ∈ Fin)
3822, 37syl5eqel 2734 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
39 eqid 2651 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
40 mplsubrglem.d . . . . 5 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
411, 39, 40, 2, 12psrelbas 19427 . . . 4 (𝜑 → (𝑋(.r𝑆)𝑌):𝐷⟶(Base‘𝑅))
42 mplsubrglem.t . . . . . 6 · = (.r𝑅)
439adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑆))
4411adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑆))
45 eldifi 3765 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝐷𝐴) → 𝑘𝐷)
4645adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) → 𝑘𝐷)
471, 2, 42, 3, 40, 43, 44, 46psrmulval 19434 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) → ((𝑋(.r𝑆)𝑌)‘𝑘) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥) · (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))))))
484ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑅 ∈ Ring)
495, 39, 6, 40, 10mplelf 19481 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
5049ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
51 ssrab2 3720 . . . . . . . . . . . 12 {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ⊆ 𝐷
52 mplsubg.i . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐼𝑊)
5352ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝐼𝑊)
5446adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑘𝐷)
55 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘})
56 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} = {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}
5740, 56psrbagconcl 19421 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑊𝑘𝐷𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (𝑘𝑓𝑥) ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘})
5853, 54, 55, 57syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (𝑘𝑓𝑥) ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘})
5951, 58sseldi 3634 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (𝑘𝑓𝑥) ∈ 𝐷)
6050, 59ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))
6139, 42, 16ringlz 18633 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)) ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 · (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))) = 0 )
6248, 60, 61syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → ( 0 · (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))) = 0 )
63 oveq1 6697 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑥) = 0 → ((𝑋𝑥) · (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))) = ( 0 · (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))))
6463eqeq1d 2653 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑥) = 0 → (((𝑋𝑥) · (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))) = 0 ↔ ( 0 · (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))) = 0 ))
6562, 64syl5ibrcom 237 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → ((𝑋𝑥) = 0 → ((𝑋𝑥) · (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))) = 0 ))
665, 39, 6, 40, 8mplelf 19481 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
6766ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
6851, 55sseldi 3634 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑥𝐷)
6967, 68ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
7039, 42, 16ringrz 18634 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋𝑥) · 0 ) = 0 )
7148, 69, 70syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → ((𝑋𝑥) · 0 ) = 0 )
72 oveq2 6698 . . . . . . . . . 10 ((𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)) = 0 → ((𝑋𝑥) · (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))) = ((𝑋𝑥) · 0 ))
7372eqeq1d 2653 . . . . . . . . 9 ((𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)) = 0 → (((𝑋𝑥) · (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))) = 0 ↔ ((𝑋𝑥) · 0 ) = 0 ))
7471, 73syl5ibrcom 237 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → ((𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)) = 0 → ((𝑋𝑥) · (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))) = 0 ))
7540psrbagf 19413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼𝑊𝑥𝐷) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
7653, 68, 75syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
7776ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) ∧ 𝑛𝐼) → (𝑥𝑛) ∈ ℕ0)
7840psrbagf 19413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼𝑊𝑘𝐷) → 𝑘:𝐼⟶ℕ0)
7953, 54, 78syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑘:𝐼⟶ℕ0)
8079ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) ∧ 𝑛𝐼) → (𝑘𝑛) ∈ ℕ0)
81 nn0cn 11340 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝑛) ∈ ℕ0 → (𝑥𝑛) ∈ ℂ)
82 nn0cn 11340 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘𝑛) ∈ ℕ0 → (𝑘𝑛) ∈ ℂ)
83 pncan3 10327 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥𝑛) ∈ ℂ ∧ (𝑘𝑛) ∈ ℂ) → ((𝑥𝑛) + ((𝑘𝑛) − (𝑥𝑛))) = (𝑘𝑛))
8481, 82, 83syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑘𝑛) ∈ ℕ0) → ((𝑥𝑛) + ((𝑘𝑛) − (𝑥𝑛))) = (𝑘𝑛))
8577, 80, 84syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) ∧ 𝑛𝐼) → ((𝑥𝑛) + ((𝑘𝑛) − (𝑥𝑛))) = (𝑘𝑛))
8685mpteq2dva 4777 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (𝑛𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) + ((𝑘𝑛) − (𝑥𝑛)))) = (𝑛𝐼 ↦ (𝑘𝑛)))
87 ovexd 6720 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) ∧ 𝑛𝐼) → ((𝑘𝑛) − (𝑥𝑛)) ∈ V)
8876feqmptd 6288 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑥 = (𝑛𝐼 ↦ (𝑥𝑛)))
8979feqmptd 6288 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑘 = (𝑛𝐼 ↦ (𝑘𝑛)))
9053, 80, 77, 89, 88offval2 6956 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (𝑘𝑓𝑥) = (𝑛𝐼 ↦ ((𝑘𝑛) − (𝑥𝑛))))
9153, 77, 87, 88, 90offval2 6956 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (𝑥𝑓 + (𝑘𝑓𝑥)) = (𝑛𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) + ((𝑘𝑛) − (𝑥𝑛)))))
9286, 91, 893eqtr4d 2695 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (𝑥𝑓 + (𝑘𝑓𝑥)) = 𝑘)
93 simplr 807 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑘 ∈ (𝐷𝐴))
9492, 93eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (𝑥𝑓 + (𝑘𝑓𝑥)) ∈ (𝐷𝐴))
9594eldifbd 3620 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → ¬ (𝑥𝑓 + (𝑘𝑓𝑥)) ∈ 𝐴)
96 ovres 6842 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) ∧ (𝑘𝑓𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )) → (𝑥( ∘𝑓 + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )))(𝑘𝑓𝑥)) = (𝑥𝑓 + (𝑘𝑓𝑥)))
97 fnovrn 6851 . . . . . . . . . . . . . 14 ((( ∘𝑓 + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))) Fn ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) ∧ (𝑘𝑓𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )) → (𝑥( ∘𝑓 + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )))(𝑘𝑓𝑥)) ∈ ran ( ∘𝑓 + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))))
9897, 22syl6eleqr 2741 . . . . . . . . . . . . 13 ((( ∘𝑓 + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))) Fn ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) ∧ (𝑘𝑓𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )) → (𝑥( ∘𝑓 + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )))(𝑘𝑓𝑥)) ∈ 𝐴)
9933, 98mp3an1 1451 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) ∧ (𝑘𝑓𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )) → (𝑥( ∘𝑓 + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )))(𝑘𝑓𝑥)) ∈ 𝐴)
10096, 99eqeltrrd 2731 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) ∧ (𝑘𝑓𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )) → (𝑥𝑓 + (𝑘𝑓𝑥)) ∈ 𝐴)
10195, 100nsyl 135 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → ¬ (𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) ∧ (𝑘𝑓𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )))
102 ianor 508 . . . . . . . . . 10 (¬ (𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) ∧ (𝑘𝑓𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )) ↔ (¬ 𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) ∨ ¬ (𝑘𝑓𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )))
103101, 102sylib 208 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (¬ 𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) ∨ ¬ (𝑘𝑓𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )))
104 eldif 3617 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝐷 ∖ (𝑋 supp 0 )) ↔ (𝑥𝐷 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 )))
105104baib 964 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐷 → (𝑥 ∈ (𝐷 ∖ (𝑋 supp 0 )) ↔ ¬ 𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 )))
10668, 105syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (𝑥 ∈ (𝐷 ∖ (𝑋 supp 0 )) ↔ ¬ 𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 )))
107 ssid 3657 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 supp 0 ) ⊆ (𝑋 supp 0 )
108107a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (𝑋 supp 0 ) ⊆ (𝑋 supp 0 ))
109 ovex 6718 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℕ0𝑚 𝐼) ∈ V
11040, 109rabex2 4847 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐷 ∈ V
111110a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝐷 ∈ V)
11218a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 0 ∈ V)
11367, 108, 111, 112suppssr 7371 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐷 ∖ (𝑋 supp 0 ))) → (𝑋𝑥) = 0 )
114113ex 449 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (𝑥 ∈ (𝐷 ∖ (𝑋 supp 0 )) → (𝑋𝑥) = 0 ))
115106, 114sylbird 250 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (¬ 𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) → (𝑋𝑥) = 0 ))
116 eldif 3617 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘𝑓𝑥) ∈ (𝐷 ∖ (𝑌 supp 0 )) ↔ ((𝑘𝑓𝑥) ∈ 𝐷 ∧ ¬ (𝑘𝑓𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )))
117116baib 964 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘𝑓𝑥) ∈ 𝐷 → ((𝑘𝑓𝑥) ∈ (𝐷 ∖ (𝑌 supp 0 )) ↔ ¬ (𝑘𝑓𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )))
11859, 117syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → ((𝑘𝑓𝑥) ∈ (𝐷 ∖ (𝑌 supp 0 )) ↔ ¬ (𝑘𝑓𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )))
119 ssid 3657 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑌 supp 0 ) ⊆ (𝑌 supp 0 )
120119a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (𝑌 supp 0 ) ⊆ (𝑌 supp 0 ))
12150, 120, 111, 112suppssr 7371 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) ∧ (𝑘𝑓𝑥) ∈ (𝐷 ∖ (𝑌 supp 0 ))) → (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)) = 0 )
122121ex 449 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → ((𝑘𝑓𝑥) ∈ (𝐷 ∖ (𝑌 supp 0 )) → (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)) = 0 ))
123118, 122sylbird 250 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (¬ (𝑘𝑓𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 ) → (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)) = 0 ))
124115, 123orim12d 901 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → ((¬ 𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) ∨ ¬ (𝑘𝑓𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )) → ((𝑋𝑥) = 0 ∨ (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)) = 0 )))
125103, 124mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → ((𝑋𝑥) = 0 ∨ (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)) = 0 ))
12665, 74, 125mpjaod 395 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → ((𝑋𝑥) · (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))) = 0 )
127126mpteq2dva 4777 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) → (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥) · (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ 0 ))
128127oveq2d 6706 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥) · (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ 0 )))
1294adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) → 𝑅 ∈ Ring)
130 ringmnd 18602 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
131129, 130syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) → 𝑅 ∈ Mnd)
13240psrbaglefi 19420 . . . . . . 7 ((𝐼𝑊𝑘𝐷) → {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ∈ Fin)
13352, 45, 132syl2an 493 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) → {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ∈ Fin)
13416gsumz 17421 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ∈ Fin) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ 0 )) = 0 )
135131, 133, 134syl2anc 694 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ 0 )) = 0 )
13647, 128, 1353eqtrd 2689 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) → ((𝑋(.r𝑆)𝑌)‘𝑘) = 0 )
13741, 136suppss 7370 . . 3 (𝜑 → ((𝑋(.r𝑆)𝑌) supp 0 ) ⊆ 𝐴)
138 suppssfifsupp 8331 . . 3 ((((𝑋(.r𝑆)𝑌) ∈ V ∧ Fun (𝑋(.r𝑆)𝑌) ∧ 0 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ ((𝑋(.r𝑆)𝑌) supp 0 ) ⊆ 𝐴)) → (𝑋(.r𝑆)𝑌) finSupp 0 )
13913, 15, 19, 38, 137, 138syl32anc 1374 . 2 (𝜑 → (𝑋(.r𝑆)𝑌) finSupp 0 )
1405, 1, 2, 16, 6mplelbas 19478 . 2 ((𝑋(.r𝑆)𝑌) ∈ 𝑈 ↔ ((𝑋(.r𝑆)𝑌) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝑋(.r𝑆)𝑌) finSupp 0 ))
14112, 139, 140sylanbrc 699 1 (𝜑 → (𝑋(.r𝑆)𝑌) ∈ 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  {crab 2945  Vcvv 3231  cdif 3604  wss 3607   class class class wbr 4685  cmpt 4762   × cxp 5141  ccnv 5142  ran crn 5144  cres 5145  cima 5146  Fun wfun 5920   Fn wfn 5921  wf 5922  ontowfo 5924  cfv 5926  (class class class)co 6690  𝑓 cof 6937  𝑟 cofr 6938   supp csupp 7340  𝑚 cmap 7899  Fincfn 7997   finSupp cfsupp 8316  cc 9972   + caddc 9977  cle 10113  cmin 10304  cn 11058  0cn0 11330  Basecbs 15904  .rcmulr 15989  0gc0g 16147   Σg cgsu 16148  Mndcmnd 17341  Ringcrg 18593   mPwSer cmps 19399   mPoly cmpl 19401
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-ofr 6940  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-tset 16007  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-psr 19404  df-mpl 19406
This theorem is referenced by:  mplsubrg  19488
  Copyright terms: Public domain W3C validator