Theorem mplsubrglem 20213

Description: Lemma for mplsubrg 20214. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.) (Revised by AV, 18-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplsubg.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mplsubg.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplsubg.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
mplsubg.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
mpllss.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mplsubrglem.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
mplsubrglem.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mplsubrglem.p	⊢ 𝐴 = ( ∘f + “ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )))
mplsubrglem.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
mplsubrglem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
mplsubrglem.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
mplsubrglem	⊢ (𝜑 → (𝑋(.r‘𝑆)𝑌) ∈ 𝑈)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐼   𝑅,𝑓   𝑆,𝑓   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌   0 ,𝑓

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐴(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑃(𝑓)   · (𝑓)   𝑈(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem mplsubrglem

Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑥 𝑔 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplsubg.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		eqid 2821	. . 3 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
3		eqid 2821	. . 3 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
4		mpllss.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5		mplsubg.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
6		mplsubg.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
7	5, 1, 6, 2	mplbasss 20206	. . . 4 ⊢ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑆)
8		mplsubrglem.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
9	7, 8	sseldi 3964	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑆))
10		mplsubrglem.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
11	7, 10	sseldi 3964	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝑆))
12	1, 2, 3, 4, 9, 11	psrmulcl 20162	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(.r‘𝑆)𝑌) ∈ (Base‘𝑆))
13		ovexd 7185	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋(.r‘𝑆)𝑌) ∈ V)
14	1, 2	psrelbasfun 20154	. . . 4 ⊢ ((𝑋(.r‘𝑆)𝑌) ∈ (Base‘𝑆) → Fun (𝑋(.r‘𝑆)𝑌))
15	12, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun (𝑋(.r‘𝑆)𝑌))
16		mplsubrglem.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
17	16	fvexi 6678	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
19		mplsubrglem.p	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = ( ∘f + “ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )))
20		df-ima 5562	. . . . 5 ⊢ ( ∘f + “ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))) = ran ( ∘f + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )))
21	19, 20	eqtri 2844	. . . 4 ⊢ 𝐴 = ran ( ∘f + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )))
22	5, 1, 2, 16, 6	mplelbas 20204	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑋 finSupp 0 ))
23	22	simprbi 499	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋 finSupp 0 )
24	8, 23	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 finSupp 0 )
25	5, 1, 2, 16, 6	mplelbas 20204	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑈 ↔ (𝑌 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑌 finSupp 0 ))
26	25	simprbi 499	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑈 → 𝑌 finSupp 0 )
27	10, 26	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 finSupp 0 )
28		fsuppxpfi 8844	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 finSupp 0 ∧ 𝑌 finSupp 0 ) → ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )) ∈ Fin)
29	24, 27, 28	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )) ∈ Fin)
30		ofmres 7679	. . . . . . 7 ⊢ ( ∘f + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))) = (𝑓 ∈ (𝑋 supp 0 ), 𝑔 ∈ (𝑌 supp 0 ) ↦ (𝑓 ∘f + 𝑔))
31		ovex 7183	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ V
32	30, 31	fnmpoi 7762	. . . . . 6 ⊢ ( ∘f + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))) Fn ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))
33		dffn4 6590	. . . . . 6 ⊢ (( ∘f + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))) Fn ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )) ↔ ( ∘f + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))):((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))–onto→ran ( ∘f + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))))
34	32, 33	mpbi 232	. . . . 5 ⊢ ( ∘f + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))):((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))–onto→ran ( ∘f + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )))
35		fofi 8804	. . . . 5 ⊢ ((((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )) ∈ Fin ∧ ( ∘f + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))):((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))–onto→ran ( ∘f + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )))) → ran ( ∘f + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))) ∈ Fin)
36	29, 34, 35	sylancl 588	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran ( ∘f + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))) ∈ Fin)
37	21, 36	eqeltrid 2917	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
38		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
39		mplsubrglem.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
40	1, 38, 39, 2, 12	psrelbas 20153	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋(.r‘𝑆)𝑌):𝐷⟶(Base‘𝑅))
41		mplsubrglem.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
42	9	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑆))
43	11	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑆))
44		eldifi 4102	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴) → 𝑘 ∈ 𝐷)
45	44	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) → 𝑘 ∈ 𝐷)
46	1, 2, 41, 3, 39, 42, 43, 45	psrmulval 20160	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) → ((𝑋(.r‘𝑆)𝑌)‘𝑘) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥) · (𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))))
47	4	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑅 ∈ Ring)
48	5, 38, 6, 39, 10	mplelf 20207	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
49	48	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
50		ssrab2 4055	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ⊆ 𝐷
51		mplsubg.i	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
52	51	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝐼 ∈ 𝑊)
53	45	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑘 ∈ 𝐷)
54		simpr 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘})
55		eqid 2821	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}
56	39, 55	psrbagconcl 20147	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘})
57	52, 53, 54, 56	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘})
58	50, 57	sseldi 3964	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ 𝐷)
59	49, 58	ffvelrnd 6846	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))
60	38, 41, 16	ringlz 19331	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)) ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 · (𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))) = 0 )
61	47, 59, 60	syl2anc 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → ( 0 · (𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))) = 0 )
62		oveq1 7157	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋‘𝑥) = 0 → ((𝑋‘𝑥) · (𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))) = ( 0 · (𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))
63	62	eqeq1d 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋‘𝑥) = 0 → (((𝑋‘𝑥) · (𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))) = 0 ↔ ( 0 · (𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))) = 0 ))
64	61, 63	syl5ibrcom 249	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → ((𝑋‘𝑥) = 0 → ((𝑋‘𝑥) · (𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))) = 0 ))
65	5, 38, 6, 39, 8	mplelf 20207	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
66	65	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
67	50, 54	sseldi 3964	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑥 ∈ 𝐷)
68	66, 67	ffvelrnd 6846	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑋‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
69	38, 41, 16	ringrz 19332	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋‘𝑥) · 0 ) = 0 )
70	47, 68, 69	syl2anc 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → ((𝑋‘𝑥) · 0 ) = 0 )
71		oveq2 7158	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)) = 0 → ((𝑋‘𝑥) · (𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))) = ((𝑋‘𝑥) · 0 ))
72	71	eqeq1d 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)) = 0 → (((𝑋‘𝑥) · (𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))) = 0 ↔ ((𝑋‘𝑥) · 0 ) = 0 ))
73	70, 72	syl5ibrcom 249	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → ((𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)) = 0 → ((𝑋‘𝑥) · (𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))) = 0 ))
74	39	psrbagf 20139	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
75	52, 67, 74	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
76	75	ffvelrnda 6845	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑥‘𝑛) ∈ ℕ0)
77	39	psrbagf 20139	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → 𝑘:𝐼⟶ℕ0)
78	52, 53, 77	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑘:𝐼⟶ℕ0)
79	78	ffvelrnda 6845	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑘‘𝑛) ∈ ℕ0)
80		nn0cn 11901	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥‘𝑛) ∈ ℕ0 → (𝑥‘𝑛) ∈ ℂ)
81		nn0cn 11901	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘‘𝑛) ∈ ℕ0 → (𝑘‘𝑛) ∈ ℂ)
82		pncan3 10888	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑥‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (𝑘‘𝑛) ∈ ℂ) → ((𝑥‘𝑛) + ((𝑘‘𝑛) − (𝑥‘𝑛))) = (𝑘‘𝑛))
83	80, 81, 82	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑥‘𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑘‘𝑛) ∈ ℕ0) → ((𝑥‘𝑛) + ((𝑘‘𝑛) − (𝑥‘𝑛))) = (𝑘‘𝑛))
84	76, 79, 83	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑥‘𝑛) + ((𝑘‘𝑛) − (𝑥‘𝑛))) = (𝑘‘𝑛))
85	84	mpteq2dva 5153	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑥‘𝑛) + ((𝑘‘𝑛) − (𝑥‘𝑛)))) = (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (𝑘‘𝑛)))
86		ovexd 7185	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑘‘𝑛) − (𝑥‘𝑛)) ∈ V)
87	75	feqmptd 6727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑥 = (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑛)))
88	78	feqmptd 6727	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑘 = (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (𝑘‘𝑛)))
89	52, 79, 76, 88, 87	offval2 7420	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑘 ∘f − 𝑥) = (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑘‘𝑛) − (𝑥‘𝑛))))
90	52, 76, 86, 87, 89	offval2 7420	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑥 ∘f + (𝑘 ∘f − 𝑥)) = (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑥‘𝑛) + ((𝑘‘𝑛) − (𝑥‘𝑛)))))
91	85, 90, 88	3eqtr4d 2866	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑥 ∘f + (𝑘 ∘f − 𝑥)) = 𝑘)
92		simplr 767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴))
93	91, 92	eqeltrd 2913	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑥 ∘f + (𝑘 ∘f − 𝑥)) ∈ (𝐷 ∖ 𝐴))
94	93	eldifbd 3948	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → ¬ (𝑥 ∘f + (𝑘 ∘f − 𝑥)) ∈ 𝐴)
95		ovres 7308	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) ∧ (𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )) → (𝑥( ∘f + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )))(𝑘 ∘f − 𝑥)) = (𝑥 ∘f + (𝑘 ∘f − 𝑥)))
96		fnovrn 7317	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((( ∘f + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))) Fn ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) ∧ (𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )) → (𝑥( ∘f + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )))(𝑘 ∘f − 𝑥)) ∈ ran ( ∘f + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))))
97	96, 21	eleqtrrdi 2924	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((( ∘f + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))) Fn ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) ∧ (𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )) → (𝑥( ∘f + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )))(𝑘 ∘f − 𝑥)) ∈ 𝐴)
98	32, 97	mp3an1 1444	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) ∧ (𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )) → (𝑥( ∘f + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )))(𝑘 ∘f − 𝑥)) ∈ 𝐴)
99	95, 98	eqeltrrd 2914	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) ∧ (𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )) → (𝑥 ∘f + (𝑘 ∘f − 𝑥)) ∈ 𝐴)
100	94, 99	nsyl 142	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → ¬ (𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) ∧ (𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )))
101		ianor 978	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ (𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) ∧ (𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )) ↔ (¬ 𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) ∨ ¬ (𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )))
102	100, 101	sylib 220	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (¬ 𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) ∨ ¬ (𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )))
103		eldif 3945	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐷 ∖ (𝑋 supp 0 )) ↔ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 )))
104	103	baib 538	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (𝑥 ∈ (𝐷 ∖ (𝑋 supp 0 )) ↔ ¬ 𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 )))
105	67, 104	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑥 ∈ (𝐷 ∖ (𝑋 supp 0 )) ↔ ¬ 𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 )))
106		ssidd 3989	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑋 supp 0 ) ⊆ (𝑋 supp 0 ))
107		ovex 7183	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
108	39, 107	rabex2 5229	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐷 ∈ V
109	108	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝐷 ∈ V)
110	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 0 ∈ V)
111	66, 106, 109, 110	suppssr 7855	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐷 ∖ (𝑋 supp 0 ))) → (𝑋‘𝑥) = 0 )
112	111	ex 415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑥 ∈ (𝐷 ∖ (𝑋 supp 0 )) → (𝑋‘𝑥) = 0 ))
113	105, 112	sylbird 262	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (¬ 𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) → (𝑋‘𝑥) = 0 ))
114		eldif 3945	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ (𝐷 ∖ (𝑌 supp 0 )) ↔ ((𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ 𝐷 ∧ ¬ (𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )))
115	114	baib 538	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ 𝐷 → ((𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ (𝐷 ∖ (𝑌 supp 0 )) ↔ ¬ (𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )))
116	58, 115	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → ((𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ (𝐷 ∖ (𝑌 supp 0 )) ↔ ¬ (𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )))
117		ssidd 3989	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑌 supp 0 ) ⊆ (𝑌 supp 0 ))
118	49, 117, 109, 110	suppssr 7855	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) ∧ (𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ (𝐷 ∖ (𝑌 supp 0 ))) → (𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)) = 0 )
119	118	ex 415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → ((𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ (𝐷 ∖ (𝑌 supp 0 )) → (𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)) = 0 ))
120	116, 119	sylbird 262	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (¬ (𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 ) → (𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)) = 0 ))
121	113, 120	orim12d 961	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → ((¬ 𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) ∨ ¬ (𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )) → ((𝑋‘𝑥) = 0 ∨ (𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)) = 0 )))
122	102, 121	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → ((𝑋‘𝑥) = 0 ∨ (𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)) = 0 ))
123	64, 73, 122	mpjaod 856	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → ((𝑋‘𝑥) · (𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))) = 0 )
124	123	mpteq2dva 5153	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) → (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥) · (𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ 0 ))
125	124	oveq2d 7166	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥) · (𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ 0 )))
126	4	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) → 𝑅 ∈ Ring)
127		ringmnd 19300	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
128	126, 127	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) → 𝑅 ∈ Mnd)
129	39	psrbaglefi 20146	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ∈ Fin)
130	51, 44, 129	syl2an 597	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ∈ Fin)
131	16	gsumz 17994	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ∈ Fin) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ 0 )) = 0 )
132	128, 130, 131	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ 0 )) = 0 )
133	46, 125, 132	3eqtrd 2860	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) → ((𝑋(.r‘𝑆)𝑌)‘𝑘) = 0 )
134	40, 133	suppss 7854	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(.r‘𝑆)𝑌) supp 0 ) ⊆ 𝐴)
135		suppssfifsupp 8842	. . 3 ⊢ ((((𝑋(.r‘𝑆)𝑌) ∈ V ∧ Fun (𝑋(.r‘𝑆)𝑌) ∧ 0 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ ((𝑋(.r‘𝑆)𝑌) supp 0 ) ⊆ 𝐴)) → (𝑋(.r‘𝑆)𝑌) finSupp 0 )
136	13, 15, 18, 37, 134, 135	syl32anc 1374	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(.r‘𝑆)𝑌) finSupp 0 )
137	5, 1, 2, 16, 6	mplelbas 20204	. 2 ⊢ ((𝑋(.r‘𝑆)𝑌) ∈ 𝑈 ↔ ((𝑋(.r‘𝑆)𝑌) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝑋(.r‘𝑆)𝑌) finSupp 0 ))
138	12, 136, 137	sylanbrc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋(.r‘𝑆)𝑌) ∈ 𝑈)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  {crab 3142  Vcvv 3494   ∖ cdif 3932   ⊆ wss 3935   class class class wbr 5058   ↦ cmpt 5138   × cxp 5547  ^◡ccnv 5548  ran crn 5550   ↾ cres 5551   “ cima 5552  Fun wfun 6343   Fn wfn 6344  ⟶wf 6345  –onto→wfo 6347  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150   ∘_f cof 7401   ∘_r cofr 7402   supp csupp 7824   ↑_m cmap 8400  Fincfn 8503   finSupp cfsupp 8827  ℂcc 10529   + caddc 10534   ≤ cle 10670   − cmin 10864  ℕcn 11632  ℕ₀cn0 11891  Basecbs 16477  ._rcmulr 16560  0_gc0g 16707   Σ_g cgsu 16708  Mndcmnd 17905  Ringcrg 19291   mPwSer cmps 20125   mPoly cmpl 20127

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-ofr 7404  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-pm 8403  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-seq 13364  df-hash 13685  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-tset 16578  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-cntz 18441  df-cmn 18902  df-abl 18903  df-mgp 19234  df-ur 19246  df-ring 19293  df-psr 20130  df-mpl 20132

This theorem is referenced by:  mplsubrg  20214