MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplvscaval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mplvscaval 19217
Description: The scalar multiplication operation on multivariate polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplvsca.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplvsca.n = ( ·𝑠𝑃)
mplvsca.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
mplvsca.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
mplvsca.m · = (.r𝑅)
mplvsca.d 𝐷 = { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
mplvsca.x (𝜑𝑋𝐾)
mplvsca.f (𝜑𝐹𝐵)
mplvscaval.y (𝜑𝑌𝐷)
Assertion
Ref Expression
mplvscaval (𝜑 → ((𝑋 𝐹)‘𝑌) = (𝑋 · (𝐹𝑌)))
Distinct variable group:   ,𝐼
Allowed substitution hints:   𝜑()   𝐵()   𝐷()   𝑃()   𝑅()   ()   · ()   𝐹()   𝐾()   𝑋()   𝑌()

Proof of Theorem mplvscaval
StepHypRef Expression
1 mplvsca.p . . . 4 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2 mplvsca.n . . . 4 = ( ·𝑠𝑃)
3 mplvsca.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝑅)
4 mplvsca.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑃)
5 mplvsca.m . . . 4 · = (.r𝑅)
6 mplvsca.d . . . 4 𝐷 = { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
7 mplvsca.x . . . 4 (𝜑𝑋𝐾)
8 mplvsca.f . . . 4 (𝜑𝐹𝐵)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8mplvsca 19216 . . 3 (𝜑 → (𝑋 𝐹) = ((𝐷 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝐹))
109fveq1d 6089 . 2 (𝜑 → ((𝑋 𝐹)‘𝑌) = (((𝐷 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑌))
11 mplvscaval.y . . 3 (𝜑𝑌𝐷)
12 ovex 6554 . . . . . 6 (ℕ0𝑚 𝐼) ∈ V
136, 12rabex2 4736 . . . . 5 𝐷 ∈ V
1413a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ V)
15 eqid 2609 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
161, 15, 4, 6, 8mplelf 19202 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐷⟶(Base‘𝑅))
1716ffnd 5944 . . . 4 (𝜑𝐹 Fn 𝐷)
18 eqidd 2610 . . . 4 ((𝜑𝑌𝐷) → (𝐹𝑌) = (𝐹𝑌))
1914, 7, 17, 18ofc1 6795 . . 3 ((𝜑𝑌𝐷) → (((𝐷 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑌) = (𝑋 · (𝐹𝑌)))
2011, 19mpdan 698 . 2 (𝜑 → (((𝐷 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑌) = (𝑋 · (𝐹𝑌)))
2110, 20eqtrd 2643 1 (𝜑 → ((𝑋 𝐹)‘𝑌) = (𝑋 · (𝐹𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  {crab 2899  Vcvv 3172  {csn 4124   × cxp 5025  ccnv 5026  cima 5030  cfv 5789  (class class class)co 6526  𝑓 cof 6770  𝑚 cmap 7721  Fincfn 7818  cn 10869  0cn0 11141  Basecbs 15643  .rcmulr 15717   ·𝑠 cvsca 15720   mPoly cmpl 19122
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10870  df-2 10928  df-3 10929  df-4 10930  df-5 10931  df-6 10932  df-7 10933  df-8 10934  df-9 10935  df-n0 11142  df-z 11213  df-uz 11522  df-fz 12155  df-struct 15645  df-ndx 15646  df-slot 15647  df-base 15648  df-sets 15649  df-ress 15650  df-plusg 15729  df-mulr 15730  df-sca 15732  df-vsca 15733  df-tset 15735  df-psr 19125  df-mpl 19127
This theorem is referenced by:  mdegvscale  23583
  Copyright terms: Public domain W3C validator