MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mply1topmatcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mply1topmatcl 20529
Description: A polynomial over matrices transformed into a polynomial matrix is a polynomial matrix. (Contributed by AV, 6-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mply1topmat.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mply1topmat.q 𝑄 = (Poly1𝐴)
mply1topmat.l 𝐿 = (Base‘𝑄)
mply1topmat.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
mply1topmat.m · = ( ·𝑠𝑃)
mply1topmat.e 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
mply1topmat.y 𝑌 = (var1𝑅)
mply1topmat.i 𝐼 = (𝑝𝐿 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1𝑝)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))))))
mply1topmatcl.c 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
mply1topmatcl.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
mply1topmatcl ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) → (𝐼𝑂) ∈ 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑖,𝑁,𝑗,𝑝   𝐸,𝑝   𝐿,𝑝   𝑃,𝑝   𝑌,𝑝   𝑖,𝑂,𝑗,𝑘,𝑝   · ,𝑘,𝑝   𝑖,𝐿,𝑗,𝑘   𝑘,𝑁   𝑃,𝑖,𝑗,𝑘   𝑅,𝑖,𝑗,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗,𝑘,𝑝)   𝐵(𝑖,𝑗,𝑘,𝑝)   𝐶(𝑖,𝑗,𝑘,𝑝)   𝑄(𝑖,𝑗,𝑘,𝑝)   𝑅(𝑝)   · (𝑖,𝑗)   𝐸(𝑖,𝑗,𝑘)   𝐼(𝑖,𝑗,𝑘,𝑝)   𝑌(𝑖,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem mply1topmatcl
StepHypRef Expression
1 mply1topmat.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 mply1topmat.q . . . 4 𝑄 = (Poly1𝐴)
3 mply1topmat.l . . . 4 𝐿 = (Base‘𝑄)
4 mply1topmat.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
5 mply1topmat.m . . . 4 · = ( ·𝑠𝑃)
6 mply1topmat.e . . . 4 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
7 mply1topmat.y . . . 4 𝑌 = (var1𝑅)
8 mply1topmat.i . . . 4 𝐼 = (𝑝𝐿 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1𝑝)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))))))
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8mply1topmatval 20528 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑂𝐿) → (𝐼𝑂) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))))))
1093adant2 1078 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) → (𝐼𝑂) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))))))
11 mply1topmatcl.c . . 3 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
12 eqid 2621 . . 3 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
13 mply1topmatcl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐶)
14 simp1 1059 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) → 𝑁 ∈ Fin)
15 fvex 6158 . . . . 5 (Poly1𝑅) ∈ V
164, 15eqeltri 2694 . . . 4 𝑃 ∈ V
1716a1i 11 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) → 𝑃 ∈ V)
18 eqid 2621 . . . 4 (0g𝑃) = (0g𝑃)
194ply1ring 19537 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
20 ringcmn 18502 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ CMnd)
2119, 20syl 17 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ CMnd)
22213ad2ant2 1081 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) → 𝑃 ∈ CMnd)
23223ad2ant1 1080 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑃 ∈ CMnd)
24 nn0ex 11242 . . . . 5 0 ∈ V
2524a1i 11 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ℕ0 ∈ V)
264ply1lmod 19541 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
27263ad2ant2 1081 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) → 𝑃 ∈ LMod)
28273ad2ant1 1080 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑃 ∈ LMod)
2928adantr 481 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ LMod)
30 eqid 2621 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
31 eqid 2621 . . . . . . . 8 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
32 simpl2 1063 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑖𝑁)
33 simpl3 1064 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑗𝑁)
34 simpl13 1136 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑂𝐿)
35 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 (coe1𝑂) = (coe1𝑂)
3635, 3, 2, 31coe1f 19500 . . . . . . . . . 10 (𝑂𝐿 → (coe1𝑂):ℕ0⟶(Base‘𝐴))
3734, 36syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (coe1𝑂):ℕ0⟶(Base‘𝐴))
38 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3937, 38ffvelrnd 6316 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1𝑂)‘𝑘) ∈ (Base‘𝐴))
401, 30, 31, 32, 33, 39matecld 20151 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
414ply1sca 19542 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
4241eqcomd 2627 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → (Scalar‘𝑃) = 𝑅)
43423ad2ant2 1081 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) → (Scalar‘𝑃) = 𝑅)
4443fveq2d 6152 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) → (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘𝑅))
45443ad2ant1 1080 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘𝑅))
4645adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘𝑅))
4740, 46eleqtrrd 2701 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
48193ad2ant2 1081 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) → 𝑃 ∈ Ring)
49 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
5049ringmgp 18474 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
5148, 50syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
52513ad2ant1 1080 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
5352adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
547, 4, 12vr1cl 19506 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → 𝑌 ∈ (Base‘𝑃))
55543ad2ant2 1081 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑃))
56553ad2ant1 1080 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑃))
5756adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑃))
5849, 12mgpbas 18416 . . . . . . . 8 (Base‘𝑃) = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
5958, 6mulgnn0cl 17479 . . . . . . 7 (((mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0𝑌 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑘𝐸𝑌) ∈ (Base‘𝑃))
6053, 38, 57, 59syl3anc 1323 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘𝐸𝑌) ∈ (Base‘𝑃))
61 eqid 2621 . . . . . . 7 (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
62 eqid 2621 . . . . . . 7 (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
6312, 61, 5, 62lmodvscl 18801 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ LMod ∧ (𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ (𝑘𝐸𝑌) ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)) ∈ (Base‘𝑃))
6429, 47, 60, 63syl3anc 1323 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)) ∈ (Base‘𝑃))
65 eqid 2621 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))
6664, 65fmptd 6340 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))):ℕ0⟶(Base‘𝑃))
671, 2, 3, 4, 5, 6, 7mply1topmatcllem 20527 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))) finSupp (0g𝑃))
6812, 18, 23, 25, 66, 67gsumcl 18237 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))) ∈ (Base‘𝑃))
6911, 12, 13, 14, 17, 68matbas2d 20148 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))))) ∈ 𝐵)
7010, 69eqeltrd 2698 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) → (𝐼𝑂) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3186  cmpt 4673  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  cmpt2 6606  Fincfn 7899  0cn0 11236  Basecbs 15781  Scalarcsca 15865   ·𝑠 cvsca 15866  0gc0g 16021   Σg cgsu 16022  Mndcmnd 17215  .gcmg 17461  CMndccmn 18114  mulGrpcmgp 18410  Ringcrg 18468  LModclmod 18784  var1cv1 19465  Poly1cpl1 19466  coe1cco1 19467   Mat cmat 20132
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-ot 4157  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-ofr 6851  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-sup 8292  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-hash 13058  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-hom 15887  df-cco 15888  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-prds 16029  df-pws 16031  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-mhm 17256  df-submnd 17257  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-mulg 17462  df-subg 17512  df-ghm 17579  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-abl 18117  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-subrg 18699  df-lmod 18786  df-lss 18852  df-sra 19091  df-rgmod 19092  df-psr 19275  df-mvr 19276  df-mpl 19277  df-opsr 19279  df-psr1 19469  df-vr1 19470  df-ply1 19471  df-coe1 19472  df-dsmm 19995  df-frlm 20010  df-mat 20133
This theorem is referenced by:  mp2pm2mplem5  20534  mp2pm2mp  20535  pm2mpfo  20538
  Copyright terms: Public domain W3C validator