Theorem mpt0 5920

Description: A mapping operation with empty domain. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mpt0	⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = ∅

Proof of Theorem mpt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ral0 4027	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝐴 ∈ V
2		eqid 2609	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴)
3	2	fnmpt 5919	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ∅ 𝐴 ∈ V → (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) Fn ∅)
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) Fn ∅
5		fn0 5910	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) Fn ∅ ↔ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = ∅)
6	4, 5	mpbi 218	1 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = ∅

Syntax hints:   = wceq 1474   ∈ wcel 1976  ∀wral 2895  Vcvv 3172  ∅c0 3873   ↦ cmpt 4637   Fn wfn 5785

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pr 4828

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ral 2900  df-rex 2901  df-rab 2904  df-v 3174  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-fun 5792  df-fn 5793

This theorem is referenced by:  oarec  7506  swrd00  13216  swrdlend  13229  repswswrd  13328  0rest  15859  grpinvfval  17229  psgnfval  17689  odfval  17721  gsumconst  18103  gsum2dlem2  18139  dprd0  18199  staffval  18616  asclfval  19101  mplcoe1  19232  mplcoe5  19235  coe1fzgsumd  19439  evl1gsumd  19488  gsumfsum  19578  pjfval  19811  mavmul0  20119  submafval  20146  mdetfval  20153  nfimdetndef  20156  mdetfval1  20157  mdet0pr  20159  madufval  20204  madugsum  20210  minmar1fval  20213  cramer0  20257  nmfval  22144  mdegfval  23543  gsumvsca1  28919  gsumvsca2  28920  esumnul  29243  esumrnmpt2  29263  sitg0  29541  mrsubfval  30465  msubfval  30481  elmsubrn  30485  mvhfval  30490  msrfval  30494  matunitlindflem1  32371  matunitlindf  32373  poimirlem28  32403  cncfiooicc  38577  itgvol0  38657  stoweidlem9  38699  sge0iunmptlemfi  39103  sge0isum  39117  lincval0  41993