MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpt2ex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mpt2ex 7199
Description: If the domain of a function given by maps-to notation is a set, the function is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
mpt2ex.1 𝐴 ∈ V
mpt2ex.2 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
mpt2ex (𝑥𝐴, 𝑦𝐵𝐶) ∈ V
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑦,𝐵
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mpt2ex
StepHypRef Expression
1 mpt2ex.1 . 2 𝐴 ∈ V
2 mpt2ex.2 . . 3 𝐵 ∈ V
32rgenw 2919 . 2 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V
4 eqid 2621 . . 3 (𝑥𝐴, 𝑦𝐵𝐶) = (𝑥𝐴, 𝑦𝐵𝐶)
54mpt2exxg 7196 . 2 ((𝐴 ∈ V ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ V) → (𝑥𝐴, 𝑦𝐵𝐶) ∈ V)
61, 3, 5mp2an 707 1 (𝑥𝐴, 𝑦𝐵𝐶) ∈ V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 1987  wral 2907  Vcvv 3189  cmpt2 6612
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-1st 7120  df-2nd 7121
This theorem is referenced by:  qexALT  11755  ruclem13  14907  vdwapfval  15610  prdsco  16060  imasvsca  16112  homffval  16282  comfffval  16290  comffval  16291  comfffn  16296  comfeq  16298  oppccofval  16308  monfval  16324  sectffval  16342  invffval  16350  cofu1st  16475  cofu2nd  16477  cofucl  16480  natfval  16538  fuccofval  16551  fucco  16554  coafval  16646  setcco  16665  catchomfval  16680  catccofval  16682  catcco  16683  estrcco  16702  xpcval  16749  xpchomfval  16751  xpccofval  16754  xpcco  16755  1stf1  16764  1stf2  16765  2ndf1  16767  2ndf2  16768  1stfcl  16769  2ndfcl  16770  prf1  16772  prf2fval  16773  prfcl  16775  prf1st  16776  prf2nd  16777  evlf2  16790  evlf1  16792  evlfcl  16794  curf1fval  16796  curf11  16798  curf12  16799  curf1cl  16800  curf2  16801  curfcl  16804  hof1fval  16825  hof2fval  16827  hofcl  16831  yonedalem3  16852  mgmnsgrpex  17350  sgrpnmndex  17351  grpsubfval  17396  mulgfval  17474  symgplusg  17741  lsmfval  17985  pj1fval  18039  dvrfval  18616  psrmulr  19316  psrvscafval  19322  evlslem2  19444  mamufval  20123  mvmulfval  20280  isphtpy  22703  pcofval  22733  q1pval  23834  r1pval  23837  motplusg  25354  midf  25585  ismidb  25587  ttgval  25672  ebtwntg  25779  ecgrtg  25780  elntg  25781  wwlksnon  26624  wspthsnon  26625  vsfval  27358  dipfval  27427  smatfval  29667  lmatval  29685  qqhval  29824  dya2iocuni  30150  sxbrsigalem5  30155  sitmval  30216  signswplusg  30436  breprval  30479  mclsrcl  31201  mclsval  31203  ldualfvs  33938  paddfval  34598  tgrpopr  35550  erngfplus  35605  erngfmul  35608  erngfplus-rN  35613  erngfmul-rN  35616  dvafvadd  35817  dvafvsca  35819  dvaabl  35828  dvhfvadd  35895  dvhfvsca  35904  djafvalN  35938  djhfval  36201  hlhilip  36755  mendplusgfval  37271  mendmulrfval  37273  mendvscafval  37276  hoidmvval  40124  cznrng  41269  cznnring  41270  rngchomfvalALTV  41298  rngccofvalALTV  41301  rngccoALTV  41302  ringchomfvalALTV  41361  ringccofvalALTV  41364  ringccoALTV  41365
  Copyright terms: Public domain W3C validator