MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpt2exga Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mpt2exga 7415
Description: If the domain of a function given by maps-to notation is a set, the function is a set. (Contributed by NM, 12-Sep-2011.)
Assertion
Ref Expression
mpt2exga ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝑥𝐴, 𝑦𝐵𝐶) ∈ V)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mpt2exga
StepHypRef Expression
1 eqid 2760 . 2 (𝑥𝐴, 𝑦𝐵𝐶) = (𝑥𝐴, 𝑦𝐵𝐶)
21mpt2exg 7414 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝑥𝐴, 𝑦𝐵𝐶) ∈ V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 2139  Vcvv 3340  cmpt2 6816
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-1st 7334  df-2nd 7335
This theorem is referenced by:  mptmpt2opabbrd  7417  el2mpt2csbcl  7419  bropopvvv  7424  bropfvvvv  7426  prdsip  16343  imasds  16395  setchomfval  16950  setccofval  16953  estrchomfval  16987  estrccofval  16990  lsmvalx  18274  mamuval  20414  mamudm  20416  marrepfval  20588  marrepval0  20589  marrepval  20590  marepvfval  20593  marepvval  20595  submaval0  20608  submaval  20609  maduval  20666  minmar1val0  20675  minmar1val  20676  mat2pmatval  20751  mat2pmatf  20755  m2cpmf  20769  cpm2mval  20777  decpmatval0  20791  decpmatmul  20799  pmatcollpw2lem  20804  pmatcollpw3lem  20810  mply1topmatval  20831  mp2pm2mplem1  20833  xkoptsub  21679  grpodivfval  27718  pstmval  30268  sxsigon  30585  cndprobval  30825  funcrngcsetc  42526  funcringcsetc  42563  lmod1lem1  42804  lmod1lem2  42805  lmod1lem3  42806  lmod1lem4  42807  lmod1lem5  42808
  Copyright terms: Public domain W3C validator