MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpt2exga Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mpt2exga 7113
Description: If the domain of a function given by maps-to notation is a set, the function is a set. (Contributed by NM, 12-Sep-2011.)
Assertion
Ref Expression
mpt2exga ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝑥𝐴, 𝑦𝐵𝐶) ∈ V)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mpt2exga
StepHypRef Expression
1 eqid 2609 . 2 (𝑥𝐴, 𝑦𝐵𝐶) = (𝑥𝐴, 𝑦𝐵𝐶)
21mpt2exg 7112 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝑥𝐴, 𝑦𝐵𝐶) ∈ V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wcel 1976  Vcvv 3172  cmpt2 6529
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-1st 7037  df-2nd 7038
This theorem is referenced by:  el2mpt2csbcl  7115  bropopvvv  7120  bropfvvvv  7122  prdsip  15893  imasds  15945  setchomfval  16501  setccofval  16504  estrchomfval  16538  estrccofval  16541  lsmvalx  17826  mamuval  19959  mamudm  19961  marrepfval  20133  marrepval0  20134  marrepval  20135  marepvfval  20138  marepvval  20140  submaval0  20153  submaval  20154  maduval  20211  minmar1val0  20220  minmar1val  20221  mat2pmatval  20296  mat2pmatf  20300  m2cpmf  20314  cpm2mval  20322  decpmatval0  20336  decpmatmul  20344  pmatcollpw2lem  20349  pmatcollpw3lem  20355  mply1topmatval  20376  mp2pm2mplem1  20378  xkoptsub  21215  wlkon  25855  trlon  25864  pthon  25899  spthon  25906  is2wlkonot  26184  is2spthonot  26185  2wlkonot3v  26196  2spthonot3v  26197  grpodivfval  26566  pstmval  29100  sxsigon  29416  cndprobval  29656  mptmpt2opabbrd  40182  funcrngcsetc  41812  funcringcsetc  41849  lmod1lem1  42092  lmod1lem2  42093  lmod1lem3  42094  lmod1lem4  42095  lmod1lem5  42096
  Copyright terms: Public domain W3C validator