MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpt2exxg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mpt2exxg 7189
Description: Existence of an operation class abstraction (version for dependent domains). (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
mpt2exg.1 𝐹 = (𝑥𝐴, 𝑦𝐵𝐶)
Assertion
Ref Expression
mpt2exxg ((𝐴𝑅 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆) → 𝐹 ∈ V)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐵
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mpt2exxg
StepHypRef Expression
1 mpt2exg.1 . . 3 𝐹 = (𝑥𝐴, 𝑦𝐵𝐶)
21mpt2fun 6715 . 2 Fun 𝐹
31dmmpt2ssx 7180 . . 3 dom 𝐹 𝑥𝐴 ({𝑥} × 𝐵)
4 snex 4869 . . . . . 6 {𝑥} ∈ V
5 xpexg 6913 . . . . . 6 (({𝑥} ∈ V ∧ 𝐵𝑆) → ({𝑥} × 𝐵) ∈ V)
64, 5mpan 705 . . . . 5 (𝐵𝑆 → ({𝑥} × 𝐵) ∈ V)
76ralimi 2947 . . . 4 (∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 → ∀𝑥𝐴 ({𝑥} × 𝐵) ∈ V)
8 iunexg 7089 . . . 4 ((𝐴𝑅 ∧ ∀𝑥𝐴 ({𝑥} × 𝐵) ∈ V) → 𝑥𝐴 ({𝑥} × 𝐵) ∈ V)
97, 8sylan2 491 . . 3 ((𝐴𝑅 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆) → 𝑥𝐴 ({𝑥} × 𝐵) ∈ V)
10 ssexg 4764 . . 3 ((dom 𝐹 𝑥𝐴 ({𝑥} × 𝐵) ∧ 𝑥𝐴 ({𝑥} × 𝐵) ∈ V) → dom 𝐹 ∈ V)
113, 9, 10sylancr 694 . 2 ((𝐴𝑅 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆) → dom 𝐹 ∈ V)
12 funex 6436 . 2 ((Fun 𝐹 ∧ dom 𝐹 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
132, 11, 12sylancr 694 1 ((𝐴𝑅 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆) → 𝐹 ∈ V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  Vcvv 3186  wss 3555  {csn 4148   ciun 4485   × cxp 5072  dom cdm 5074  Fun wfun 5841  cmpt2 6606
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-1st 7113  df-2nd 7114
This theorem is referenced by:  mpt2exg  7190  mpt2ex  7192  gsum2d2lem  18293  taylfval  24017  ptrest  33037
  Copyright terms: Public domain W3C validator