Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mptcfsupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mptcfsupp 42671
Description: A mapping with value 0 except of one is finitely supported. (Contributed by AV, 9-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
suppmptcfin.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
suppmptcfin.r 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
suppmptcfin.0 0 = (0g𝑅)
suppmptcfin.1 1 = (1r𝑅)
suppmptcfin.f 𝐹 = (𝑥𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 1 , 0 ))
Assertion
Ref Expression
mptcfsupp ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → 𝐹 finSupp 0 )
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝑀   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥, 1   𝑥, 0
Allowed substitution hint:   𝑅(𝑥)

Proof of Theorem mptcfsupp
StepHypRef Expression
1 suppmptcfin.f . . . 4 𝐹 = (𝑥𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 1 , 0 ))
21funmpt2 6088 . . 3 Fun 𝐹
32a1i 11 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → Fun 𝐹)
4 suppmptcfin.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑀)
5 suppmptcfin.r . . 3 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
6 suppmptcfin.0 . . 3 0 = (0g𝑅)
7 suppmptcfin.1 . . 3 1 = (1r𝑅)
84, 5, 6, 7, 1suppmptcfin 42670 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
9 mptexg 6648 . . . . 5 (𝑉 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑥𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 1 , 0 )) ∈ V)
101, 9syl5eqel 2843 . . . 4 (𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝐹 ∈ V)
11103ad2ant2 1129 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → 𝐹 ∈ V)
12 fvex 6362 . . . 4 (0g𝑅) ∈ V
136, 12eqeltri 2835 . . 3 0 ∈ V
14 isfsupp 8444 . . 3 ((𝐹 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → (𝐹 finSupp 0 ↔ (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)))
1511, 13, 14sylancl 697 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → (𝐹 finSupp 0 ↔ (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)))
163, 8, 15mpbir2and 995 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → 𝐹 finSupp 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  Vcvv 3340  ifcif 4230  𝒫 cpw 4302   class class class wbr 4804  cmpt 4881  Fun wfun 6043  cfv 6049  (class class class)co 6813   supp csupp 7463  Fincfn 8121   finSupp cfsupp 8440  Basecbs 16059  Scalarcsca 16146  0gc0g 16302  1rcur 18701  LModclmod 19065
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-supp 7464  df-1o 7729  df-er 7911  df-en 8122  df-fin 8125  df-fsupp 8441
This theorem is referenced by:  lcoss  42735  el0ldep  42765
  Copyright terms: Public domain W3C validator