MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mptcoe1matfsupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mptcoe1matfsupp 21338
Description: The mapping extracting the entries of the coefficient matrices of a polynomial over matrices at a fixed position is finitely supported. (Contributed by AV, 6-Oct-2019.) (Proof shortened by AV, 23-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mptcoe1matfsupp.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mptcoe1matfsupp.q 𝑄 = (Poly1𝐴)
mptcoe1matfsupp.l 𝐿 = (Base‘𝑄)
Assertion
Ref Expression
mptcoe1matfsupp (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐼((coe1𝑂)‘𝑘)𝐽)) finSupp (0g𝑅))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐿   𝑘,𝐼   𝑘,𝐽   𝑘,𝑁   𝑘,𝑂   𝑅,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝑄(𝑘)

Proof of Theorem mptcoe1matfsupp
Dummy variables 𝑐 𝑠 𝑥 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvexd 6678 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) → (0g𝑅) ∈ V)
2 mptcoe1matfsupp.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3 eqid 2818 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4 eqid 2818 . . 3 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
5 simp2 1129 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) → 𝐼𝑁)
65adantr 481 . . 3 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐼𝑁)
7 simp3 1130 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) → 𝐽𝑁)
87adantr 481 . . 3 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐽𝑁)
9 simp3 1130 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) → 𝑂𝐿)
1093ad2ant1 1125 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) → 𝑂𝐿)
11 eqid 2818 . . . . 5 (coe1𝑂) = (coe1𝑂)
12 mptcoe1matfsupp.l . . . . 5 𝐿 = (Base‘𝑄)
13 mptcoe1matfsupp.q . . . . 5 𝑄 = (Poly1𝐴)
1411, 12, 13, 4coe1fvalcl 20308 . . . 4 ((𝑂𝐿𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1𝑂)‘𝑘) ∈ (Base‘𝐴))
1510, 14sylan 580 . . 3 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1𝑂)‘𝑘) ∈ (Base‘𝐴))
162, 3, 4, 6, 8, 15matecld 20963 . 2 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐼((coe1𝑂)‘𝑘)𝐽) ∈ (Base‘𝑅))
17 eqid 2818 . . . . . . 7 (0g𝐴) = (0g𝐴)
1811, 12, 13, 17, 4coe1fsupp 20310 . . . . . 6 (𝑂𝐿 → (coe1𝑂) ∈ {𝑐 ∈ ((Base‘𝐴) ↑m0) ∣ 𝑐 finSupp (0g𝐴)})
19 elrabi 3672 . . . . . 6 ((coe1𝑂) ∈ {𝑐 ∈ ((Base‘𝐴) ↑m0) ∣ 𝑐 finSupp (0g𝐴)} → (coe1𝑂) ∈ ((Base‘𝐴) ↑m0))
2010, 18, 193syl 18 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) → (coe1𝑂) ∈ ((Base‘𝐴) ↑m0))
21 fvex 6676 . . . . 5 (0g𝐴) ∈ V
2220, 21jctir 521 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) → ((coe1𝑂) ∈ ((Base‘𝐴) ↑m0) ∧ (0g𝐴) ∈ V))
2311, 12, 13, 17coe1sfi 20309 . . . . 5 (𝑂𝐿 → (coe1𝑂) finSupp (0g𝐴))
2410, 23syl 17 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) → (coe1𝑂) finSupp (0g𝐴))
25 fsuppmapnn0ub 13351 . . . 4 (((coe1𝑂) ∈ ((Base‘𝐴) ↑m0) ∧ (0g𝐴) ∈ V) → ((coe1𝑂) finSupp (0g𝐴) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴))))
2622, 24, 25sylc 65 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴)))
27 csbov 7188 . . . . . . . . . 10 𝑥 / 𝑘(𝐼((coe1𝑂)‘𝑘)𝐽) = (𝐼𝑥 / 𝑘((coe1𝑂)‘𝑘)𝐽)
28 csbfv 6708 . . . . . . . . . . 11 𝑥 / 𝑘((coe1𝑂)‘𝑘) = ((coe1𝑂)‘𝑥)
2928oveqi 7158 . . . . . . . . . 10 (𝐼𝑥 / 𝑘((coe1𝑂)‘𝑘)𝐽) = (𝐼((coe1𝑂)‘𝑥)𝐽)
3027, 29eqtri 2841 . . . . . . . . 9 𝑥 / 𝑘(𝐼((coe1𝑂)‘𝑘)𝐽) = (𝐼((coe1𝑂)‘𝑥)𝐽)
3130a1i 11 . . . . . . . 8 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 < 𝑥) ∧ ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴)) → 𝑥 / 𝑘(𝐼((coe1𝑂)‘𝑘)𝐽) = (𝐼((coe1𝑂)‘𝑥)𝐽))
32 oveq 7151 . . . . . . . . 9 (((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴) → (𝐼((coe1𝑂)‘𝑥)𝐽) = (𝐼(0g𝐴)𝐽))
3332adantl 482 . . . . . . . 8 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 < 𝑥) ∧ ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴)) → (𝐼((coe1𝑂)‘𝑥)𝐽) = (𝐼(0g𝐴)𝐽))
34 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . 13 (0g𝑅) = (0g𝑅)
352, 34mat0op 20956 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (0g𝐴) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (0g𝑅)))
36353adant3 1124 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) → (0g𝐴) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (0g𝑅)))
37363ad2ant1 1125 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) → (0g𝐴) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (0g𝑅)))
38 eqidd 2819 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) ∧ (𝑖 = 𝐼𝑗 = 𝐽)) → (0g𝑅) = (0g𝑅))
3937, 38, 5, 7, 1ovmpod 7291 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) → (𝐼(0g𝐴)𝐽) = (0g𝑅))
4039ad4antr 728 . . . . . . . 8 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 < 𝑥) ∧ ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴)) → (𝐼(0g𝐴)𝐽) = (0g𝑅))
4131, 33, 403eqtrd 2857 . . . . . . 7 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 < 𝑥) ∧ ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴)) → 𝑥 / 𝑘(𝐼((coe1𝑂)‘𝑘)𝐽) = (0g𝑅))
4241exp31 420 . . . . . 6 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑠 < 𝑥 → (((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴) → 𝑥 / 𝑘(𝐼((coe1𝑂)‘𝑘)𝐽) = (0g𝑅))))
4342a2d 29 . . . . 5 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴)) → (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘(𝐼((coe1𝑂)‘𝑘)𝐽) = (0g𝑅))))
4443ralimdva 3174 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴)) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘(𝐼((coe1𝑂)‘𝑘)𝐽) = (0g𝑅))))
4544reximdva 3271 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) → (∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴)) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘(𝐼((coe1𝑂)‘𝑘)𝐽) = (0g𝑅))))
4626, 45mpd 15 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘(𝐼((coe1𝑂)‘𝑘)𝐽) = (0g𝑅)))
471, 16, 46mptnn0fsupp 13353 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐼((coe1𝑂)‘𝑘)𝐽)) finSupp (0g𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  wrex 3136  {crab 3139  Vcvv 3492  csb 3880   class class class wbr 5057  cmpt 5137  cfv 6348  (class class class)co 7145  cmpo 7147  m cmap 8395  Fincfn 8497   finSupp cfsupp 8821   < clt 10663  0cn0 11885  Basecbs 16471  0gc0g 16701  Ringcrg 19226  Poly1cpl1 20273  coe1cco1 20274   Mat cmat 20944
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-ot 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12881  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-hom 16577  df-cco 16578  df-0g 16703  df-prds 16709  df-pws 16711  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-subg 18214  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-subrg 19462  df-lmod 19565  df-lss 19633  df-sra 19873  df-rgmod 19874  df-psr 20064  df-mpl 20066  df-opsr 20068  df-psr1 20276  df-ply1 20278  df-coe1 20279  df-dsmm 20804  df-frlm 20819  df-mat 20945
This theorem is referenced by:  mply1topmatcllem  21339
  Copyright terms: Public domain W3C validator