MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mptct Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mptct 9345
Description: A countable mapping set is countable. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
mptct (𝐴 ≼ ω → (𝑥𝐴𝐵) ≼ ω)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem mptct
StepHypRef Expression
1 funmpt 5914 . 2 Fun (𝑥𝐴𝐵)
2 ctex 7955 . . . 4 (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
3 eqid 2620 . . . . 5 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
43dmmptss 5619 . . . 4 dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ 𝐴
5 ssdomg 7986 . . . 4 (𝐴 ∈ V → (dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ 𝐴 → dom (𝑥𝐴𝐵) ≼ 𝐴))
62, 4, 5mpisyl 21 . . 3 (𝐴 ≼ ω → dom (𝑥𝐴𝐵) ≼ 𝐴)
7 domtr 7994 . . 3 ((dom (𝑥𝐴𝐵) ≼ 𝐴𝐴 ≼ ω) → dom (𝑥𝐴𝐵) ≼ ω)
86, 7mpancom 702 . 2 (𝐴 ≼ ω → dom (𝑥𝐴𝐵) ≼ ω)
9 funfn 5906 . . 3 (Fun (𝑥𝐴𝐵) ↔ (𝑥𝐴𝐵) Fn dom (𝑥𝐴𝐵))
10 fnct 9344 . . 3 (((𝑥𝐴𝐵) Fn dom (𝑥𝐴𝐵) ∧ dom (𝑥𝐴𝐵) ≼ ω) → (𝑥𝐴𝐵) ≼ ω)
119, 10sylanb 489 . 2 ((Fun (𝑥𝐴𝐵) ∧ dom (𝑥𝐴𝐵) ≼ ω) → (𝑥𝐴𝐵) ≼ ω)
121, 8, 11sylancr 694 1 (𝐴 ≼ ω → (𝑥𝐴𝐵) ≼ ω)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1988  Vcvv 3195  wss 3567   class class class wbr 4644  cmpt 4720  dom cdm 5104  Fun wfun 5870   Fn wfn 5871  ωcom 7050  cdom 7938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-ac2 9270
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oadd 7549  df-er 7727  df-map 7844  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-oi 8400  df-card 8750  df-acn 8753  df-ac 8924
This theorem is referenced by:  sigapildsys  30199  carsgclctunlem2  30355  pmeasadd  30361  smfpimcc  40777
  Copyright terms: Public domain W3C validator