Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mptctf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mptctf 29338
 Description: A countable mapping set is countable, using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Mar-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
mptctf.1 𝑥𝐴
Assertion
Ref Expression
mptctf (𝐴 ≼ ω → (𝑥𝐴𝐵) ≼ ω)

Proof of Theorem mptctf
StepHypRef Expression
1 funmpt 5884 . 2 Fun (𝑥𝐴𝐵)
2 ctex 7914 . . . 4 (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
3 eqid 2621 . . . . . 6 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
43dmmpt 5589 . . . . 5 dom (𝑥𝐴𝐵) = {𝑥𝐴𝐵 ∈ V}
5 df-rab 2916 . . . . . 6 {𝑥𝐴𝐵 ∈ V} = {𝑥 ∣ (𝑥𝐴𝐵 ∈ V)}
6 simpl 473 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴𝐵 ∈ V) → 𝑥𝐴)
76ss2abi 3653 . . . . . . 7 {𝑥 ∣ (𝑥𝐴𝐵 ∈ V)} ⊆ {𝑥𝑥𝐴}
8 mptctf.1 . . . . . . . 8 𝑥𝐴
98abid2f 2787 . . . . . . 7 {𝑥𝑥𝐴} = 𝐴
107, 9sseqtri 3616 . . . . . 6 {𝑥 ∣ (𝑥𝐴𝐵 ∈ V)} ⊆ 𝐴
115, 10eqsstri 3614 . . . . 5 {𝑥𝐴𝐵 ∈ V} ⊆ 𝐴
124, 11eqsstri 3614 . . . 4 dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ 𝐴
13 ssdomg 7945 . . . 4 (𝐴 ∈ V → (dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ 𝐴 → dom (𝑥𝐴𝐵) ≼ 𝐴))
142, 12, 13mpisyl 21 . . 3 (𝐴 ≼ ω → dom (𝑥𝐴𝐵) ≼ 𝐴)
15 domtr 7953 . . 3 ((dom (𝑥𝐴𝐵) ≼ 𝐴𝐴 ≼ ω) → dom (𝑥𝐴𝐵) ≼ ω)
1614, 15mpancom 702 . 2 (𝐴 ≼ ω → dom (𝑥𝐴𝐵) ≼ ω)
17 funfn 5877 . . 3 (Fun (𝑥𝐴𝐵) ↔ (𝑥𝐴𝐵) Fn dom (𝑥𝐴𝐵))
18 fnct 9303 . . 3 (((𝑥𝐴𝐵) Fn dom (𝑥𝐴𝐵) ∧ dom (𝑥𝐴𝐵) ≼ ω) → (𝑥𝐴𝐵) ≼ ω)
1917, 18sylanb 489 . 2 ((Fun (𝑥𝐴𝐵) ∧ dom (𝑥𝐴𝐵) ≼ ω) → (𝑥𝐴𝐵) ≼ ω)
201, 16, 19sylancr 694 1 (𝐴 ≼ ω → (𝑥𝐴𝐵) ≼ ω)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∈ wcel 1987  {cab 2607  Ⅎwnfc 2748  {crab 2911  Vcvv 3186   ⊆ wss 3555   class class class wbr 4613   ↦ cmpt 4673  dom cdm 5074  Fun wfun 5841   Fn wfn 5842  ωcom 7012   ≼ cdom 7897 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-ac2 9229 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-oi 8359  df-card 8709  df-acn 8712  df-ac 8883 This theorem is referenced by:  abrexctf  29339
 Copyright terms: Public domain W3C validator